3.2. Отражение и преломление плоских волн
3.2.1. Волновые процессы на плоской границе раздела сред
Рассмотрим процесс отражения плоской упругой волны на плоскостной границе двух (жидких или газообразных) сред. Требуется получить аналитическое выражение для коэффициентов отражения и прохождения по давлению и колебательной скорости.
Рис. 3.5
Рассмотрим падение плоской волны в плоскости ХУ, в системе координат, представленной на рис. 3.5. Запишем аналитические выражения для всех волн, образующихся при наклонном падении:
,
,
,
(3.13)
На плоской границе
раздела должны выполняться граничные
условия, характеризующие равновесие
действующих сил и выполнение условий
«сплошности» среды. Поле давления,
действующего впервой среде:
.
Поле давления во второй среде:
.
Граничное условие первого типа:
1. Равенство давлений по обе стороны границы
.
(3.14)
Граничное условие второго типа:
2. Равенство
нормальных компонент упругих смещения
и колебательных скоростей, с учетом
:
.
(3.15)
Для удобства вычислений безразмерных выражений введем дополнительные обозначения:
,
(3.16)
коэффициент отражения по давлению;
,
(3.17)
коэффициент прохождения по давлению.
Подставив полученные выражения для системы волн в граничные условия, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными R и D.
Решение этой
системы: при
- «нормальное» падение:
,
(3.18)
.
(3.19)
При этом было учтено, что по закону Снеллиуса:
(3.20)
Если в выражениях
(3.18, 3.19) перейти к колебательным скоростям,
то можно получить выражения для
коэффициентов отражения
и прохождения
по колебательной скорости:
,
(3.21)
.
(3.22)
Видно, что эти выражения имеют разный характер, что подчеркивается разным физическим смыслом величин давления и колебательной скорости в звуковом поле. Выражения для коэффициентов отражения и прохождения по потенциалу подобны выражениям для коэффициентов по давлению. Выражения для коэффициентов отражения по упругим смещениям подобны выражениям коэффициентов отражения и прохождения по колебательной скорости.
Рассмотрим частные случаи соотношения импедансов прилегающих сред, от которых зависят значения, принимаемые выведенными коэффициентами:
1. абсолютно
«мягкая» граница
(вода – воздух):
(3.23)
2. абсолютно
«жесткая» граница
:
(3.24)
Выводы:
1.Отражающие свойства границы (проницаемость) зависят от различия импедансов «прилегающих» сред. При равенстве импедансов отражение отсутствует, и падающая волна полностью проникает во вторую среду.
2.Равенство импедансов предполагает именно равенство произведений плотностей сред на значения скоростей, а не равенство этих значений по отдельности.
3. Коэффициенты отражения и прохождения для разных физических величин могут для одинаковых сочетаний сред принимать разные значения.
4. Коэффициенты отражения и прохождения для разных физических величин не зависят от частоты.
Рассмотренные частные случаи фактически определяют различия между двумя предельными состояниями «граничных» условий, широко используемых в «краевых» задачах математической физики:
Первое условие Дирихле, иначе называемое условием на абсолютно «мягкой» или «свободной» границе:
(3.25)
Второе условие Неймана, иначе называемое условием на абсолютно «жесткой» границе:
(3.26)
Практические следствия, формулируемые на основании обнаруженных закономерностей, означают, прежде всего, необходимость решения задачи согласования импедансов, выполняемую при построении большого числа объектов живой и неживой природы. Кроме того, при решении так называемых обратных задач, когда пытаются восстанавливать профиль (соотношение импедансов) исследуемых сред по результатам ультразвуковых измерений, нужно согласовывать число независимых измерений с количеством восстанавливаемых параметров. Ясно, что по результатам измерений отраженного и прошедшего сигналов можно восстановить два значения импедансов. При этом для конкретизации значения скорости или плотности, обязательно нужны дополнительные измерения. Получение последних встречает затруднения, так как коэффициенты отражения и прохождения по отношению к плоской границе не зависят от частоты.