ТВ-1-2-3 + ИДЗ-ТВ-1

8

ГЛАВА Теория вероятностей.

§1. Случайный эксперимент (СЭ). Математическая модель СЭ.

Эксперимент ≡ исследование ≡ наблюдение ≡ опыт ≡ …

СЭ :1) возможность многократного повторения ; 2) «априорная неоднозначность» результата - - исхода ω конкретного эксперимента из множества W возможных исходов - W = { ω }.

В дальнейшем

- все взаимоисключающие исходы ω СЭ будем называть «элементарными событиями»;

- будем считать, что множество элементарных событий W дискретное - конечное W ={w₁,_,…, w_n } или счетное W ={w_i; i=1,2,…. }

Определение 1.1.

(Дискретным) Пространством элементарных событий(ПЭС) называется любое полное множество W ={w} возможных элементарных событий случайного эксперимента.

Построение математической модели СЭ начинается с построения ПЭС.

СЭ1 – «бросание игральной кости»: w_i - номер выпавшей грани →ПЭС: W1 = {1,2,3,4,5.6}; W2 ={чет., нечет.}; W3 ={1,не 1} НО : {1,чет}, {1,чет, нечет} – НЕ ПЭС !!

CЭ2 – «стрельба по мишени до первого поражения». - количество израсходованных патронов →

W = {1,2,3,.... }- счетное бесконечное ПЭС.

Пусть в СЭ W ={ wi ; i=1,2,...,n} выполнена серия из m испытаний, причем в mi случаях зафиксирован исход wi и относительная частота исхода wi - m_i = m_i /m :

!!! В ТВ рассматриваются лишь такие СЭ, которые обладают свойством устойчивости относительных частот исходов : при многократном повторении длинных серий случайного эксперимента относительные частоты mi исходов wi, как правило, меняются мало и при неограниченном увеличении длины серии "сходятся, концентрируются, сгущаются" к числу Pi Î[0,1] -

Определение 2.1. Если каждому элементарному событию поставлено в соответствие число p_i=P(wi) : p_iÎ[0,1] и ,

это число называется вероятностью элементарного события/исхода wi, а а множество называется распределением вероятностей на ПЭС . Пару множеств называют математической моделью дискретного случайного эксперимента.

СЭ1:

СЭ2:

§2. Cлучайные события и их вероятности. Алгебра событий.

Теория вероятностей «начинается» с задания (построения) математической модели СЭ и решает задачу нахождения вероятности случайного события в рамках заданной математической модели.

Пусть задана (выбрана, построена) математическая модель дискретного СЭ: {W ; P_W}.

Определение 1.2. Случайным Событием A на дискретном ПЭС W называется любое его подмножество А={wА}ÌW, при этом составляющие случайное событие элементарные исходы wАÎА называются благоприятными для случайного события А: если эксперимент закончился одним из благоприятных исходов wА, говорят, что в результате СЭ произошло случайное событие А. В частности, событиями на ПЭС W являются: - ; . На конечном ПЭС определено 2ⁿ случайных событий.

Определение 2.2. (Аксиома аддитивности). Вероятностью P(A) События А называется число P(A), равное сумме вероятностей элементарных событий, благоприятных А:

А

Замечание. Поскольку определения 1.2 и 2.2 даны «на языке множеств», дадим вероятностную интерпретацию «алгебры событий» - операций над множествами благоприятных исходов.

Пусть

1. Произведением событий А и В называется событие С, содержащее все исходы, благоприятные для событий А и В одновременно: , при этом

События А и В называются несовместными, если они не имеют общих исходов, т.е.

[1]

События А и В называются независимыми, если

2. Суммой событий А и В называется событие С, содержащее все исходы , благоприятные для события А или события В:

 Теорема сложения. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: [2]

Событие называется противоположным событию А,

если оно состоит из всех исходов, неблагоприятных для А, т.е

.

 [3]

ЭКЗ +1. Доказать формулу:

[4]

Пример.

«А - выпала грань с нечетным номером» 

B - "номер грани кратен 3"; Û В={3,6};P(B)=2/6. А+В={1,3,5,6} Þ P(A+B)=4/6=2/3;

A∙B={3} ÞР(А∙В)=1/6  P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=

Алгоритм решения задачи нахождения вероятности события С в случайном эксперименте :

(I) построить (задать, выбрать) математическую модель СЭ - , определить на W случайное событие С={w_С}ÌW и вычислить «по определению» P(С) =

ИЛИ

(2) определить С и вычислить Р(С), используя алгебру событий и формулы [1-4]:

[1]

[2]

[3]

[4]

§3 Классическое распределение вероятностей. Основные формулы комбинаторики.

Рассмотрим дискретный СЭ, все «элементарные исходы» которого равновозможны. Соответствующую мат. модель С. Э. называют "классической".

Очевидно, что в рамках классической модели вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к размерности П.Э.С. N_Ώ:

Пример. В урне находятся 29 пронумерованных шаров. Найти вероятность того, что номер вынутого НАУГАД шара кратен 3  ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

.

Пусть - множество "n" различных элементов, из которых составляются различные m –местные комбинации/наборы K(n,m), содержащие “m” элементов:

- упорядоченные наборы - последовательности различаются либо порядком, либо составом элементов

n=4,m=3→(b_1,b₂,b₃ ) ¹(b_2,b₁,b₃ )¹ (b_4,b₁,b₃ )_,

- неупорядоченные наборы различаются только составом элементов ,включенных в комбинацию:

{b_1,b₂,b₃ } ={b_2,b₁,b₃} ≠ {b₄,b₁ ,b₃}

. Основное правило комбинаторики :"Если для «построения комбинации» необходимо последовательно выполнить «операции» : , причем A_i можно выполнить n_i способами и после этого A_i+1 можно выполнить n_i+1 способами, количество таких различных комбинаций равно .

Рассмотрим некоторые m-местные комбинации из n различных элементов.

1. Размещениями из n по m без повторений называются m-местные последовательности . Так как элемент a₁ можно выбрать n₁=n способами, после этого a₂- n₂=n-1, …, a_m- n_m=n-m+1 способами, по ОПК количество таких различных комбинаций равно

(1)

2. Перестановками n элементов без повторений называются n-местные последовательности ,различающиеся порядком элементов, т.е. размещения из n по n. Поэтому

N_ПЕР =P(n)==n! (2)

3. Сочетаниями из n по m без повторений называются неупорядоченные m-местные комбинации .Очевидно, что если в каждом сочетании выполнить перестановки его m-элементов, получим размещения из n по m. Следовательно

(3)

 Свойства сочетаний:

Утверждение. n- элементное множество имеет подмножеств, включая пустое множество и B_n, при этом количество k- элементных подмножеств равно .

Пусть и имеется неограниченное количество «копий» каждого элемента.

4. Размещениями из n по m с повторениями называются m-местные последовательности , элементы которых могут повторяться. Так как каждый элемент последовательности a_i, i=1,2,…,m можно выбрать n_i=n способами, по ОПК количество таких различных комбинаций равно

N = n^m (4)

Пример 1. Записать все различные комбинации 1.- 4. для

Пример 2. Сколькими способами можно разместить 5 различных «шаров» по 8 «бездонным» ящикам?

Сколькими способами можно разместить 5 различных «шаров» по 8 «одноместным» ящикам?

ИДЗ-ТВ1 ПО ТЕМЕ «Непосредственный подсчет вероятностей. Алгебра событий».

Задание.

0) «Известно ,что:» - используемые определения и формулы.

Задача 1). Выбрать по условиям задачи ПЭС, построить математическую модель СЭ, определить случайное событие и вычислить его вероятность.

Задача 2). Найти вероятность случайного события, используя «алгебру событий».

Результаты – с 3 в.з.ц.

1.[1] Найти вероятность того, что в лотерее «5 из 49» угаданы хотя бы 4 номера.

(1) Примем за элементарные исходы ω случайного эксперимента сочетания из 49 номеров по 5.

 Математическая модель случайного эксперимента:

(2) Случайное событие A={ω_A}, ω_A – такие сочетания из 49 по 5, в которых угаданы 4(А4) или 5(А5) фиксированных чисел, т.е. А = А4+А5. Так как события А4 и А5 несовместные, P(A)=P(A4)+P(A5).

(3) По основному правилу комбинаторики:

4. 

--------------------------------------------------------

2.[1] «9 друзей наугад заказали билеты на поезд из 5 вагонов. Найти вероятность того, что друзья оказались в одном или в двух соседних вагонах».

1. Примем за исходы случайного эксперимента девятиместные комбинации номеров вагонов, доставшихся 1-му, 2-му, …, 9-му другу, - размещения из 5 по 9 с повторениями  N_Ω= 5⁹

2. Определим случайное событие А как сумму СС: А=А1+А2с (все попали в какой-либо один или в какие-то два соседние вагона). Так как СС А1 и А2с несовместные, Р(А)= Р(А1)+Р(А2с).

3. А1: (выбрать один «общий» вагон)  N_А1 =5 А2с: (выбрать два соседних вагона из 5)  (разместить 9 по 2-м выбранным вагонам,

n2c=4 {{1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}}

исключая 2 варианта: все в одном или все в другом из двух вагонов !!) n(9,2) = 2⁹-2  N_А2с = n(9,2)∙ n2c=4∙(2⁹-2)  N_А=N(A1)+ N(A2с)

4. Р(А)=

Результат. А=А1+А2с. Р(А)= Р(А1)+Р(А2с); Р(А)=

3.[1] « В ящике находятся 20 деталей, 5 из которых – стандартные. Найти вероятность того, что из трех взятых наугад деталей по крайней мере одна окажется стандартной».

(1) Примем за пространство элементарных исходов Ω={ω}, ω - сочетания из 20 различных деталей по 3. Размерность N_Ω=.

(2) Случайное событие А={ ω_A}, ω_A – такие сочетания из 20 по 3, в которых из 3 деталей либо одна, либо две, либо три – стандартные

 Противоположное СС такие сочетания из 20 по 3, в которых все 3 детали нестандартные.

 Результаты:

4.[2] Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы два экзамена из трёх, если результаты экзаменов независимы и вероятности сдачи 1,2,3-го экзаменов равны: p1=p3=0.9, р2=0.8.



Результаты:

=======================================================================

Литература.

1)Даугавет А.И., Постников Е.В., Червинская Н.М. Введение в теорию вероятностей.: Учеб. пособие, СПбГЭТУ «ЛЭТИ» - 2012.

2) Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики: Учеб. пособие для вузов. СПб, Лань,2008.

3) Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учеб. пособие для вузов.- М.: Наука, 2000, 2003

4) Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 2002, 2004, 2005. Самостоятельная работа. Зачет.

ИДЗ-1 “Непосредственный подсчет вероятностей. Алгебра событий» ИДЗ-2 «Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли» ИДЗ-3 «Дискретная и непрерывная случайная величина».

ИДЗ-4 «Функции случайной величины».