8. Энергия. Виды механической энергии. Кинетическая энергия.

Вывод формулы кинетической энергии.

Энергия – физическая клоичественнная вел-на, характеризующая движение и взаимодействие материй. (яднрная, мех-я, тепл-я, атомная, эл.магнитная)

Потенциальная энергия – мех энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Кинетическая энергия механической системы – это энергия механического движения этой системы.

Кинетическая энергия – энергия упорядоченного движения тела.

Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который прошло тело за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела dA=dT. Используя закон Ньютона F=m(dv/dt) и уможая обе части равенства на перемещение dr, получим

F dr=m(dv/dt)dr = dA

Т.к. v=dr/dt то dA=mv dv=mvdv = dT, откуда T= int(0-v)(mvdv)=mv²/2

T=mv²/2

Р = m; Е_к = m²/2 = m²²/2m = Р²/2m. Итак, Е_к = Р²/2m и Р = 2mЕ_к.

9. Консервативные и неконсервативные силы. Связь между силой и

потенциальной энергией. Градиент потенциальной энергии. Условие рав-

новесия системы.

Скалярно энергетический подход в механике особенно плодотворным оказывается в случае так называемых консервативных взаимодействий, в которых работа стационарных сил не зависит от формы траектории, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела.

К

онсервативными являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, но не силы трения и сопротивления. Для консервативных сил можно ввести такую энергетическую характеристику, какпотенциальная эне­ргия, которая является однозначной функцией координат (положения) и которая вместе с кинетической энергией - функцией скоростей, образует полную механичес­кую энергию тела (системы).

В отличие от кинетической энергии Е_к = m²2, являющейся однозначной, единообразно выражаемой функцией скоростей и, по смыслу – скалярной динамической мерой движе­ния, потенциальная энергия Е_п - является скалярной мерой консервативных взаимодействий и не имеет единообразного выражения через координаты (положение) тела.

Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от формы траектории по которой движется тело и определяется в начальной и конечной точках траектории; работа этих сил по замкнутому контуру = 0

Диссипатиыные силы – силы, работа которых зависит от формы траектории по кторой движется тело.

Взаимодействие в рез-те кот между телами возникают пот силы осущ-ся посредством силового пот-го поля.

Связь между силой и потенциальной энергией. Градиент потенциальной энергии.

На тело положение которой в пот поле опр-ся радиус-вектором r : F=xi+yj+zk

F=F_xi+F_yj+F_zk; E_n=E(x,y,z); dA=F_xdx; dA=-dE_n; F_xdx=-dE_n; F_x=-dE_n/dx; d/dx->ð/ðx

F_x=-ðE_n/ðx; F_y=-ðE_n/ðy; F_z=-ðE_n/ðz ; F=-( ðE_n/ðxi+ ðE_n/ðyj+ ðEn/ðzk); F=-gradE_n;

GradE_n= ðE_n/ðxi+ ðE_n/ðyj+ ðEn/ðzk –градиент

Градиент – оператор показывающий какие действия надо провести со скалярной ф-ей. – вектор направленый в сторону наиболее быстрого возрастания скалярной ф-ции. Тогда связь между F и En формируется след образом: сила = gradEn, взятому с противоп знаком => F направлена в сторону противоп grad.

Силы, которые зависят только от координат(Силы, не зависящие от времени, называют стационарными), могут быть заданы с помощью поля сил - области пространства, в каждой точке которого на тело действует определённая сила. Примерами силовых полей являются гравитационное поле и, в частности, поле силы тяжести, электростатическое поле и др.

Силы (и поля), работа А₁₂ которых на пути между двумя любыми точками 1 и 2 не зависит от формы траектории между ними, называются потенциальными, а если они стационарны, их называют консервативными. Потенциальными являются все однородные поля (в каждой точ­ке таких полей сила неизменна), а также поля центральных сил (они зависят только от расстояния между взаимодействующими точками и направлены вдоль прямой, их соединяющей).

Получим формулу взаимосвязи силы таких полей с потенциальной энергией. Из взаимосвязи работы с потенциальной энергией А₁₂ = Fdr = Е_п1 - Е_п2 , или, для элементарной работы: А = Fdr = - dЕ­_п. Имея в виду, что Fdr = F_sds, где ds = dr - элементарный путь /перемеще­ние/, а F_r = Fcos  - проекция вектора F на перемещение dr, запишем: F_rds = - dЕ­_п, где - dЕ­_п - есть убыль потенциальной энергии в направлении перемещения dr. Отсюда F_r = - Е_пr; частная производная r берется по некоторому заданному направлению.

В векторной форме полученную дифференциальную взаимосвязь силы с потен­циальной энергией можно записать в следующем виде:

F = -(iЕ_пх + jЕ_пу + kЕ_пz) = - grad Е_п = - Е_п, где символический векторный оператор  (векторная сумма первых частных производных по пространственным координатам) называется оператором Набла или градиентом скалярной функции (в данном случае - потенциальной энергии).

Итак, сила F = - grad Е_п = - Е_п в потенциальном поле есть антиградиент /градиент со знаком минус/ потенциальной энергии, или, иначе – пространственная производная, быстрота убыли потенциальной энер­гии в пространстве в некотором направлении.

Смысл градиента можно прояснить, введя понятие эквипотенциальной поверхности - во всех точках которой потенциальная энергия Е_п имеет одно и то же значение, т. е. Е_п = const.

Из формулы F = - Е_п следует, что проекция вектора F на направ­ление касательной к эквипотенци­альной поверхности в любой её точке равна нулю. Это значит, что вектор F нормален к эквипотенциальной поверхности E_п = const.

Если, далее, взять перемещение dr в сторону убыли Е_п, то dЕ_п < 0 и F_r > 0, т. е. вектор F направлен в сторону убыли Е_п. Градиент же от Е_п есть вектор, на­правленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону наибыстрейшего возрастания скалярной функции /здесь - потенциальной энергии/.

На примере гравитационного поля, сила которого прямо пропорциональна массе тела, т. е. F = m₁m₂r², можно считать, что каждое из взаимодействующих тел находится в силовом поле другого: F = mМr² = gm , где g = Fm = Мr² - напряжённость гравитационного поля /удельная сила - в расчёте на единицу массы/, создаваемого телом массой М.

Из связи силы с потенциальной энергией следует:

А = Fdr = mgdr = - dЕ_п  gdr = - dЕ_пm = - d

или  gdr = ₁ - ₂ , где  = Е_п/m - потенциал гравитационного поля, представляющий собой удельную /на единицу массы/ потенциальную энергию.

Или g = - grad  = -  - формула взаимосвязи напряженности и потенциала гравитационного поля; напряженность есть антиградиент потенциала.

Пусть частица движется в одномерном потенциальном поле, профиль которого, то есть зависимость Е_п (х) представлен на рисунке в виде так называемой потен­циальной кривой.

Из закона сохране­ния механической энер­гии: Е = Е_к + Е_п = m²2 + Е_п/х/ = const следует, что в область, где Е_п > Е час­тица попасть не может. Таким образом, если пол­ная энергия Е частицы равна Е₁ /см. рис./, то час­тица может двигаться в области  между коорди­натами х₁ и х₂ (совершает колебания в этой области, называемой потенциальной ямой), или же – в области  - правее координаты х₃. Перейти же из области I в область II или наоборот частица не мо­жет; этому препятствует потенциальный барьер высотой Е_б  Е₁, разделяющий эти области.

Частица с энергией Е₂, большей высоты потенциального барьера (Е₂  Е_б), может двигаться во всей области правее х_о. Кинетическая энергия ее будет возрастать (в области от х_о до х^), затем падать (в области от х^ до х^) и далее опять возрастать в области х  х^.

В точке х имеет место устойчивое положение равновесия; здесь Е_п = Е_{п мин} и F_х = -grad_х Е_п = - Е_пх = 0. При смещении из него тела на dx  0, dЕ_п  0 и на тело действует сила

F_х = - Е_пх  0, носящая характер, возвращающий тело к положению равновесия.

В точке х имеет место неустойчивое равновесие;

здесь Е_п = Е_{п макс} и F = - grad Е_п = - Е_пх = 0. При смещении из него тела на dx  0, dЕ_п  0, и на тело действует сила F_х = - Е_пх  0, носящая характер, отклоняющий тело от положения равновесия.