2. Кинематика материальной точки. Путь, скорость, ускорение. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение.

В механике Ньютона считается, что свободное тело (на которое не дейст­вуют другие тела или действие их взаимно скомпенсировано) сохраняет сос­тояние своего движения, т. е. движется с неизменной скоростью (в частном случае покоится). Наличие же взаимодействия со стороны других тел проявляет себя, как установлено в динамике Галилея - Ньютона, в изменении скорости данного тела. Быстроту ее изменения характеризуют векторной величиной, называемой ускорением а, численно равным производной от мгновенной вектор - скорости  по времени:

а = lim /t при t  0; а = d/dt = ^ [а] = м/с².

Т. к. вектор-скорость  =  обладает как бы двумя степенями свободы - модулем  и направлением (задаваемым вектором ), то и быстрота её изменения - вектор уско­рения а - может быть представлен в виде двух составляющих, называемых тангенциальным (касательным) и нормальным (центростремительным) ускорениями:

а = d/dt = d/dt() = (d/dt) + d/dt = а_ + а_n,

где а_ = (d/dt) - тангенциальное ускорение, численно равное быстроте измене­ния модуля скорости и направленное по направлению , то есть по касательной к траектории в сторону перемещения тела при (d/dt)  0 и против  при (d/dt)  0;

а_n = d/dt - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления скорости.

Покажем, что нормальное ускорение направлено по нормали к траектории в сторону её вогнутости и численно равно ²/R, где R - радиус кривизны тра­ектории в соответствующей точке. За время dt орт  касательной к траек­тории поворачивается на малый угол d и получает прира­щение d (оставаясь неизменным по модулю, равному единице).

Перенося вектор  + d параллельно самому себе в одну начальную точку с вектором , выразим d из получившегося равнобедренного треугольника:

d = 2 sin (d/2). Так как угол d мал, то sin (d/2)  d/2 и d  . Тогда d  dn.

Для нахождения d построим окружность некоторого радиуса R, соприкасающуюся с малым участком, дугой траектории, вдоль которой за время dt тело проходит путь dS = dt.

Центральный угол d, опирающийся на дугу длиной dS, по определению равен отношению ее к радиусу R: d = dSdR = dtR.

Подставляя d в выражение для d = dn = (dtR)n и далее d в выражение для а_n = d/dt = (dt/Rdt)n = (²/R) n 

а_n = ²/R

Направление вектора полного ускорения а определяется согласно правилу суммирования составляющих его векторов а_ и а_n. Вектор а_ = (d/dt) направлен по касательной  к траекто­рии в сторону движения тела при ускоренном (d/dt  0) движении тела и против движения тела при замедленном (d/dt <0) дви­жении тела. Вектор а_n = d/dt направлен в сторону вектора d, т. е. по нормали к траектории, в сторону её вогнутости (к центру кри­визны), и поэто­му его назы­вают еще центростремительным ускоре­нием. Направление вектора а = а_ + а_n может изменяться от совпадающего с на­правлением скорости (при а_n = 0 и d/dt  0) до противоположного направлению скорости (при а_n = 0 и d/dt  0).