Модуль а полного ускорения в соответствии с теоремой Пифагора, равен:

а = а = (а_² + а_n²) = [(d/dt)² + ⁴/R²].

Знание ускорения, с которым движется тело, необходимо для решения ос­новной задачи механики, т. е. для определения скорости и местоположения тела в любой момент времени. Для этого необходимо иметь уравнения, связывающие скорость и ускорение, а также радиус - вектор с ускорением тела.

Кинематические уравнения движения (уравнения для скорости и радиус-вектора).

Для движения точки с постоянным ускорением а = d/dt = const, ее скорость определится интегрированием соотношения d = аdt:

d = аdt   - _о = аt   = _о + аt

Аналогично, зная скорость  = dr/dt, найдём радиус-вектор r, определяющий местоположение тела. Интегрируя соотношение dr = dt, получим:

dr = dt = (_о + аt)dt  r – r_о = _оt + аt²/2  r = r_о + _оt + аt²/2

Кроме ускорения а, решение основной задачи механики, т. е. определение скорости  и местонахождения r точки, требует знания начального сос­тояния движения точки, т. е. значений скорости _о и положения r_о точки в начальный момент времени t = 0. Задача нахождения ускорения тела решается в следующем за кинематикой разделе механики - динамике.

На практике полученные векторные уравнения для скорости и радиус - век­тора используют обычно в скалярной форме, т. е. в виде проекций на оси координат:

_х = _ох + а_хt; _у = _оу + а_уt; _z = _оz + а_zt х = х_о + _охt + а_хt²/2; у = у_о + _оуt + а_уt²/2; z = z_о + _оzt + а_zt²/2;

Это известные из школьного курса физики формулы для скорости и координаты равнопеременного и прямолинейного движения. В прямолинейном одномерном движении можно записать следующие формулы для скорости и пути:

 = _о + аt и S = _оt + аt²/2, где путь S в однонаправленном движении равен модулю разности координат конечного и начального положений тела.

Для движения вдоль оси Х: S_х = х – х_о, для движения вдоль оси у: S_у = у – у_о.

r = iх + kу +jz, и  = dr/dt = i_х + j_у + k_z,

где _х = dх/dt; _у = dу/dt; _z = dz/dt и  = (_х² + _у² + _z²)

а = d/dt = d²r/dt² = iа_х + jа_у + kа_z;

а_х = d_х/dt = d²х/dt²; а_у = d_у/dt = d²у/dt²; а_z = d_z/dt = d²z/dt²; а = (а_х² + а_у² + а_z²)

Плоское движение брошенного тела

Частным, но важным случаем движения является плоское, при котором траектория точки - не пространственная, а плоская кривая, т. е. задаёт­ся в двухмерной системе координат Х,. К таким движениям относят, на­пример, движение брошенного тела без учёта сопротивления воздуха и вет­ра. В этом случае полное ускорение тела равно g  9,8 м/с² и направлено вертикально вниз. При этом (для оси , направленной вертикально вверх) имеем:

а_х = 0; а_у = - g: а = а_у = g.

_х = _ох = _о cos  = const; _у = _оу – gt = _о sin  - gt;

 = (_х² + _у²) = [_ох² + (_оу – gt)²]

х = х_о + _охt; S_х = х - х_о = _охt;

у = у_о + _оуt - gt²/2; S_у = у - у_о = _оуt - gt²/2.

В верхней точке траектории _у = 0 и _оу = gt. При этом максимальная высота подъёма: Н = у_макс = у_о + gt²/2.

Радиус кривиз­ны траектории в некоторый момент времени определяется из соотношения а_n = ²/R и ус­ловия а = g = [(d/dt)² + ⁴/R²] или из соотношений, выражающих тригонометрическую функцию (tg, cos) одного и того же угла  из треугольника скоростей и треугольника ускорений.