13. Момент силы. Момент импульса. Основной закон динамики враща-

тельного движения.

Различают два основных вида вращательного движения твердого тела:

1. вращение вокруг неподвижной точки О, при котором все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер с центром в точке О;

2. вращение вокруг неподвижной оси ; здесь все точки тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения .

При анализе вращательного движения твердого тела целесообразно перейти от линейных характеристик, удобных в описании поступательного движения, к специфическим характеристикам вращательного движения (и взаимодействия). В качестве кинематических характеристик таковыми являются угловые характеристики: путь , скорость  = d/dt и ускорение  = d/dt.

Динамические характеристики также пересматриваются, модифицируются при переходе к изучению вращательного движения. Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М, а мера инертности – масса m – на момент инерции J.

В качестве векторной меры вращательного движения некоторой материальной точки m_ относительно неподвижной точки (полюса) О выбирается величина L_, называемая моментом импульса и определяемая векторным произведением радиус-вектора r_ материальной точки на ее импульс р_ = m__:

L_ = [r_, р_]

Вектор L_ направлен согласно правилу правого винта или из конца вектора L_ поворот вектора r_ к вектору р_ виден совершающимся по кратчайшему расстоянию против часовой стрелки

Соответственно в качестве момента импульса L твердого тела (или системы материальных точек) относительно неподвижной точки О выбирается векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульсов L_, составляющих систему (тело) точек:

L = L_ = [r_, р_]

В качестве элементарной меры вращательного взаимодействия выбирается величина М, называемая моментом силы относительно точки и численно равная векторному произведению радиус-вектора r точки приложения силы на вектор силы F, то есть М = [r, F]. Вектор М направлен перпендикулярно плоскости векторов r и F по правилу правого винта (см рис):

Модуль вектора момента силы равен:

М = Frsin  = Fl, где  - угол между векторами r и F, а l = rsin  - плечо силы F, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы F.

Получим уравнение динамики вращательного движения твердого тела, которое еще называют уравнением моментов, и которое представляет собой закон изменения момента импульса твердого тела. Возьмем производную от момента импульса:

dL/dt = d/dt([r_, р_]) = d/dt[r_, р_] ={[dr_/dt, р_] + [r_,dр_/dt]} = [r_, dр_/dt], так как [dr_/dt, р_] = [_, m__] = 0.

Заменим, в соответствии со вторым законом Ньютона, dр_/dt = F_^внеш + F_k суммой внешних и внутренних сил, действующих на  - ую точку тела:

dL/dt = [r_, dр_/dt] = [r_, (F_^внеш + F_k)] = [r_, F_^внеш] + [r_, F_k] = М^внеш + М_внутр = М^внеш, где обозначено: [r_, F_^внеш] = М^внеш - момент внешних сил и [r_, F_k] = М_внутр = 0 – результирующий момент внутренних сил, действующих между разными точками самого твердого тела.

В момент внутренних сил входят попарно произведения [r_, F_k] = М_k и [r_k, F_k] = М_k. Их сумма М_k + М_k = [(r_ - r_k), F_k] = 0, так как векторы (r_ - r_k) и F_k – коллинеарны.

Закон изменения момента импульса твердого тела (системы материальных точек) или уравнение моментов в итоге принимает вид:

dL/dt = М^внеш – быстрота изменения момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на тело.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси , то, спроецировав полученное уравнение моментов на ось , получим: dL_z/dt = М_z^внеш - уравнение моментов для вращательного движения твердого тела вокруг (относительно) неподвижной оси.

Так как r_ = z_ + R_, то: L = [r_, m__] = [z_, m__] + [R_, m__].

Вектор [z_, m__]  оси Z, а вектор [R_, m__] параллелен оси Z. Поэтому проекция вектора L на ось Z будет равна: L_ = R_m__ = m_R_²_z = J_z, где J = m_R_² – момент инерции твердого тела относительно оси .

Итак L_ = J_z и dL_/dt = М_^внеш  Jd_z/dt = М_^внеш или J_z = М_^внеш, где _z = d_z/dt - проекция вектора углового ускорения на ось .

Момент силы численно равен быстроте изменения момента импульса (мера воздействия измеряется мерой отклика).

Проекции М_ момента силы и L_ момента импульса на ось являются скалярными величинами, но алгебраическими, то есть имеющими знак. Условно им иногда приписывают векторный характер, например, в случае, когда сам вектор М направлен вдоль оси Z. При этом момент М_ силы относительно неподвижной оси полагается сонаправленным вектору углового ускорения , а момент импульса L_Z = J - сонаправлен вектору угловой скорости , то есть всегда направлен по оси вращения в сторону определяемую правилом правого винта.

Основное уравнение М_z = J_z динамики вращательного движения твердого тела (системы материальных точек) относительно неподвижной оси по своей структуре идентично второму закону Ньютона F = mа. Аналогом массы m в нем выступает момент инерции J твердого тела. И так же, как масса, он выступает мерой инертности тела, но применительно к вращательному движению. Чем больше момент инерции J твердого тела, тем меньшее угловое ускорение  оно приобретает под действием одного и того же момента М внешних сил, то есть тем медленнее изменяется его угловая скорость.