3. Абсолютно твердое тело. Виды движения абсолютно твердого те-

ла. Кинематика вращательного движения. Угловая скорость. Угловое ус-

корение. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения.

В тех ситуациях, когда размерами и формой движущегося тела нельзя пренебречь, его часто можно смоделировать твёрдым телом – совокупностью материальных точек с неизменными расстояниями между ними. При этом про­извольное движение такого тела обычно может быть разложено на такие бо­лее простые, независимые движе­ния, как поступательное и вращательное.

Под поступательным движением твёрдого тела понимают такое движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся при его движении параллельной самой себе(Поступательным является, прежде всего, прямолинейное движение, а также и такие виды криволинейного движения, как движение кривошипно-шатунного механизма, движение в кабине колеса обозрения ...). Существенно, что при поступательном движении все точки тела дви­жутся эквивалентно, т. е. по идентичным траекториям с одинаковыми мгновенными скоростями и ускорениями. Поэтому механика поступательного дви­жения твёрдого тела в целом не содержит в себе принципиальных отличий от механики точки и по существу сводится к ней. В качестве некоторой выделенной точки твердого тела выбирают его центр масс, который еще называют центром инерции.

Иначе обстоит дело с вращательным движением. Простейший его вид - вращение вокруг неподвижной оси. В нем все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вра­щения. Во вращательном движении разные точки тела (разно удалённые от оси вращения) за одно и тоже время t совершают разные линейные перемещения r и, соответственно, обла­дают разными линейными скоростями и ускорениями. Одинаковыми же для всех точек вращающегося вокруг оси тела будут не линейные, а угловые кинема­тические характеристики (скорости и пути, перемещения). Они и будут адекватными (и удобными) характеристиками вращательного движения тела в целом.

Вращающееся вокруг неподвижной оси тело имеет одну степень свободы; его положение однозначно определяется углом поворота , и закон его вращательного движения задается уравнением:  = (t).

Линейное перемещение r (или dr) пропорционально расстоянию R до оси вращения. Угло­вое же перемещение  (или d), равное линейному r, делённому на радиус R соответствующей окружности, то есть d = dr/R, не зависит от R.

С

оответственно ибыстрота  = d/dt [рад/с = с^-1] углового перемещения (или изменения утла поворота ), называемая угловой скоростью, и быстрота её изменения  = d/dt [рад/с² = с^-2], называемая угловым ускорением, не зависят от радиуса окружности, то есть являются оди­наковыми для всех точек вращающегося тела.

Линейные и угловые характеристики точки, вращающейся по окружности радиуса R взаи­мосвязаны следующим образом:

 = d/dt = (drR)dt = R;   = R.

 = d/dt = d/dt(R) = (1R)d/dt = а_R  а_ = R

а_n = ²/R = (R)2R = ²R; а = (а_² + а_n²) = (²R² + ⁴R²) = [(² + ⁴)]R .

В

отличие от линейных дифференциальных кинематических харак­теристик, соответствующие угловые характеристики (угловое перемещение d, угловые скорость  и ускорение ), изображаются, не истинными векторами, а псевдовекторами, условно направляемыми вдоль оси вращения. В векторной форме связь линейных и угловых характеристик имеет следующий вид. Так как dr = Rd = rsin d, то в векторной форме dr = [d, r]. Поделив полученное равенство на dt, получим: drdt =  = [ddt, r] = [, r]   = [, r].

а = ddt = ddt[, r] = [ddt, r] + [, drdt] = [, r] + [, ] = а_ + [, [, r]] = а_ + а_n, где

а_ = [, r] и а_n = [, [, r]] = - ²R.

Направление векторов d и  определяется правилом правого винта (буравчика), совпа­дая с его поступательным перемещением при вращении рукояти в направ­лении вращения тела. Угловое же ускорение  = ddt совпадает, по направ­лению с элементарным приращением d угловой скорости: d . Оно, таким образом, направ­лено по направлению  при ускоренном (d/dt  0) вращении и против направ­ления  при замедленном (d/dt  0) вращении.

Векторный характер  и  позволяет характеризовать с их помощью не только быстроту вращения, но и ориентацию оси вращения в пространстве, и направление вращения.

Так же, как и для линейных, для угловых кинематических характеристик справедливы аналогичные уравнения для скорости и перемещения во враще­нии с постоянным ускорением:  = _о  t и  = _о + _оt  t²2 , где знак плюс  - для ускоренного вращения, а минус - для замедленного вращения.

Также как и в поступательном движении, для решения основной задачи механики вращательного движения (определе­ния угловой скорости и положения в любой момент времени) необходимо знать начальное состояние движения (характеристики _о и _о), а также угловое ускорение . Задача определения ускорения движущегося тела ре­шается в следующем за кинематикой разделе механики, называемом динамикой.

В практических задачах на анализ вращательного движения часто исполь­зуют такие характеристика, как число оборотов , связанное с угловым путем  очевидным соотношением  = 2, и частота вращения n = dN/dt или для равномерного вращения n = t:

n = (d/dt)2 = 2   = 2n;  = 2.

Время одного оборота Т = 1/n называется периодом вращения:

 = 2Т или Т = 2.