16. Сопоставление характеристик и уравнений для поступательного

и вращательного движений.

При анализе вращательного движения твердого тела целесообразно перейти от линейных характеристик, удобных в описании поступательного движения, к специфическим характеристикам вращательного движения (и взаимодействия). В качестве кинематических характеристик таковыми являются угловые характеристики: путь , скорость  = d/dt и ускорение  = d/dt.

Динамические характеристики также пересматриваются, модифицируются при переходе к изучению вращательного движения. Векторные меры движения и взаимодействия, соответственно импульс Р и сила F заменяются во вращательном движении на момент импульса L и момент силы М, а мера инертности – масса m – на момент инерции J.

17. Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение соб-

ственных колебаний. Его решение. Амплитуда, фаза, частота собствен-

ных колебаний. Скорость и ускорение.

Гармо­ническими называют колебания, происходящие по закону гармонической фун­кции, т. е. по закону синуса или косинуса. Система, колеблющаяся по гармоническому закону, называется осциллятором, (гармоническим или линейным). Примером осциллятора может служить груз на пружине при небольших откло­нениях от положения равновесия, то есть в области справедливости закона Гука, где F_упр  х.

Используем силовой подход (второй закон Ньютона) применительно к грузу массой m, движущемуся под действием силы упругости пружины с жесткостью k. Вначале пренебрежём разного рода силами сопротивления, трения. Для простоты рассмотрим колебания груза в горизонтальном направлении, например в трубе без трения:

F = mа = mх^; F_упр = - kх; mх^ = - kх;  х^ = - (km)х или х^ + ²х= 0

Полученное уравнение: х" + (km)х = 0, связывающее вторую производную и саму функцию х - смещение груза от положения равновесия, называется дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний (ДУСГК). Такое название объясняется тем, что его решением является гармоническая функция вида:

х = Аcos(t + ) = Asin (t +  + /2), где  = km - циклическая частота свободных гармонических колебаний груза на пружине.

Рассмотрим основные характеристики гармонических колебаний. Для кон­кретности будем рассматривать чётную гармоническую функцию – косинус:

х = А cos(t + ) = А cos Ф, где:

х - текущее смещение, отклонение груза от положения равновесия, изменяющееся по гармоническому закону;

А - амплитуда колебания, представляющая собой максимальное отклонение от положения равновесия (А = х_макс);

Ф = t +  - полная фаза колебания, представляющая собой аргумент гармонической функции, изме­ряемый в угловой мере (в радианах) и определяющий как бы угловой путь, пройденный колеблющимся телом. Фаза определяет мгновенное положение /сос­тояние/ колеблющейся системы, осциллятора;

 = Ф (при t = 0) - начальная фаза колебания (фаза в начальный момент времени), определяющая начальное положение, состояние осциллятора в момент t = 0;

 = dФ/dt [радс = с^-1] - быстрота изменения полной фазы /состояния/ осциллятора, называемая циклической или угловой частотой.

Гармоническая функция является периодической. За время равное периоду Т совершается один цикл её изменения (одно колебание); соответственно фаза Ф гармони­ческого колебания изменяется на Ф = 2, т. е.

Ф = Ф(t + Т) - Ф(t) = 2  (t + Т) +  -  t –  = 2;   = 2Т и Т = 2

Обратная периоду величина  = 1Т [1с = Гц] – называется частотой колебания. Численно она равна числу колебаний, совершающихся за одну секунду.

Проекция радиус-вектора равномерно вращающейся точки по окружности радиуса R на любую прямую, проходящую через её центр, например, на горизонтальную ось х, совершает гармоническое колебательное движение: х = Rcos ;  = t + _о; х = Rcos (t + _о).

Полная фаза Ф гармонического колебания является аналогом углового пути, а циклическая частота  - угловой скорости ( = R) равномерно вращающейся точки.