- •Развитие количественных представлений в дошкольном возрасте (Хрестоматия в 6 частях)
- •Часть ii1-1v
- •Г. С. Костюк о генезисе понятия числа у детей
- •Данные о развитии числовых представлений у детей
- •Н. Л. Менчинская пути формирования первоначального понятия о числе у детей до школы
- •А. В. Брушлинский некоторые вопросы детского мышления в условиях усвоения счета
- •А. М. Леушина развитие представлений о множестве в раннем детстве
- •Формирование счетного действия
- •Формирование представления о натуральном ряде как системе чисел
- •П.Я. Гальперин, л.С. Георгиев недостатки обучения счету
- •П. Я. Гальперин, л. С. Георгиев формирование начальных математических понятий
- •В. В. Данилова особенности понимания количественных отношений совокупности детьми 2-х —3-х лет
- •Г. А. Корнеева роль предметных действий в формировании понятия числа у дошкольников
- •Г.Д. Беришвили, и.В. Котетишвили с чего начинать обучение математике в школе?
- •Н.И. Непомнящая усвоение математических действий в дошкольном возрасте
- •М. Фидлер математика уже в детском саду
- •Сравнение численности множеств. Изучение количественных и порядковых числительных в пределах 10
- •Л.С. Метлица методика формирования у детей элементарных математических представлений Количество
- •Выделение отдельных предметов из группы и объединение предметов в группы.
- •Показ независимости числа предметов от их размера, площади и формы расположения
- •Установление равенства численностей множеств
- •Состав числа из единиц
- •Порядковое и количественное значение числа
- •Сравнение смежных чисел
- •Деление целого на части
- •Т.Н. Кухарева, р.Л. Непомнящая формирование представлений у старших дошкольников о величине
- •Н. И. Чуприкова психология умственного развития Начальные этапы развития счета
- •Н.И. Чуприкова умственное развитие и обучение Возрастная дифференциация суждений о сходстве — различии объектов
- •Е. А. Бокшиц особенности умений решать логические задачи у детей старшего дошкольного возраста
- •Развитие у детей представлений о величине в. К. Котырло различение детьми дошкольного возраста величины предметов
- •В. К. Котырло
- •Р. Л. Березина об особенностях различения детьми дошкольного возраста трехмерности объемных предметов
- •Т. Лаврентьева развитие глазомера у дошкольников
- •Л. А. Венгер об использовании детьми дошкольного возраста сериационного ряда величин при выборе объекта по образцу
- •Е.В. Проскура роль обучения в формировании сериационных действий у дошкольников
- •В. Проскура развитие познавательных особенностей дошкольника
- •Л. А. Левинова к вопросу об ориентировке детей старшего дошкольного возраста в отношениях величин
- •Л.А. Левинова формирование понятия транзитивности отношений велечин у детей старшего дошкольного возраста
- •P.Л. Непомнящая особенности понимания детьми 6-7 лет отношений между измеряемой величиной, мерой и результатом измерения
- •Н. Г. Белоус характер действия детей дошкольного возраста при сопоставлении предметов по их тяжести
- •Н. Г. Белоус различение детьми предметов по их тяжести и отражение этих свойств в речи
- •Н. Г. Белоус особенности построения детьми 3-7 лет сериационного ряда из предметов разной массы
- •Л. С. Метлина знания детей о форме и величине предметов
- •З. Лебедева к вопросу о методах развития представлений о величине
- •Н. Куфко дидактические игры и развитие элементарных математических представлений у детей 4-5 лет
- •Н. Дробязго ознакомление детей старшей группы с величиной предметов
- •Л.С. Метлина математика в детском саду
- •Т. В. Тарунтаева
- •Р. Л. Березина формирование у детей старшего дошкольного возраста знаний о способах и мерах измерения протяженностей, массы и объема
- •Оглавление
- •Перечень учебно-методических материалов, разработанных, учителями г. Санкт - Петербурга
П. Я. Гальперин, л. С. Георгиев формирование начальных математических понятий
Методика наша состояла из трех частей, Целью первой было формирование математического подхода к оценке количеств.
Сначала, чтобы оживить знания о применении меры и о важности этого, прводилась экскурсия в магазины. Дети следили за примериванием, отмериванием,
34
причем их внимание обращали на то, как важно делать это тщательно, точно примерить или отмерить. Затем в детском саду дети «мерялись» друг с другом, примеряли вещи и т.д. При этом мы каждый раз спрашивали: «Что нужно сделать, чтобы узнать кто выше? Подходит ли? Какой больше?» и т.д. Если дети не знали, как ответить, мы отвечали сами, а в следующий раз дети уже называли действие. Далее следовало выделение разных импровизированных мерок для разных величин: это у нас будет мерка (показывали кубик, спичку, куклу, ложку). Ею мы будем мерить эти вещи. После каждого измерения (результатом которого было только указание, что больше или меньше) мы спрашивали: как называется то, чем мы меряем? Что у нас было меркой? Что мы делаем меркой? В качестве мерки большей частью берем не целые величины, а несколько предметов (два кубика, две ложки риса) или части их (половину спички, половину кружки, половину нарисованного грибка). Так производится количественная дифференциация меры от «отдельности» (отдельных предметов). В следующий раз мы приступаем к ее качественной дифференцировке. Мы спрашиваем, можно ли это (рис, воду) мерить этим (палочкой или картонным кружочком), а это (ленту) этим (кружкой)? А чем их можно мерить? И т д. В заключение задается общий вопрос: «Можно ли всякую вещь мерить любой меркой?». На что следует общий вывод: нельзя, каждую вещь надо мерить своей меркой - меркой того же рода.
Следующий шаг — процесс откладывания мерки, «процесс измерения». Берем материалы, требующие неоднократного приложения мерки, и показываем необходимость правильного, т. е. точного, откладывания мерки. «Измерение» производится сначала физически, потом на глаз, но в присутствии мерки и, наконец, по одному словесному ее называнию (например, меркой будет зеленый кубик, спичка и т. п.).
В результате отмеривании одной и той же меркой впервые получаются собственно математические множества совокупности элементов, одинаковых, равных в определенном отношении. Теперь мы приступаем к их сравнению, соизмерению. Но сначала показываем, что для этого нужен специальный прием: показываем две беспорядочные группы из 10-11 элементов и спрашиваем, какая больше. В таком виде это нельзя сразу определить. Дан почувствовать затруднение, мы объясняем, что для правильного решения нужно расположить группы в два ряда, один под другим, элемент одного к элементу другого. Таким образом, мы специально выделяем одно из основных математических действий — однозначное соотношение — и учим ему детей. По общепринятой методике это действие тоже используется, но останется глубоко скрытым.
На основе такого сравнения множеств формируются понятии «столько же, равно», «больше», «меньше» и «больше (меньше) на столько» с показом вещественного избытка (или недостатка).
Следующая задача — обобщение множеств. Желая сделать это наглядно, мы вводим заместитель фактически отмеренных количеств, их эквиваленты. Чтобы показать необходимость такой замены, мы переходим к отмериванию величин, в которых отложенные меркой количества снова теряются: длина стола, на котором нельзя делать заметки, крупа или вода, отдельные мерки которой сливаются в общую миску, и т. п. «Сколько получилось?» -- спрашиваем мы. Показать нечего, ребенок в затруднении.
35
Тогда мы говорим: «Вот видишь, мы отмерили, да не отметили и теперь не знаем, сколько получилось». Дальше на каждую отложенную мерку будем откладывать для памяти какой-нибудь предмет. После каждого откладывания эквивалентов спрашиваем: «Что было меркой?». Теперь величины (например, длина стола и подоконника) сравниваются не по выделенным меркой количествам, а по их эквивалентам. Однако каждый раз они сохраняют прямое отношение к своей конкретной величине. Чтобы еще больше освободить от связи с ней, мы прибегаем к такому приему: берем (без предварительного отмеривания) группу эквивалентов и говорим: «Вот что-то мерили какой-то меркой и получили столько отложенных мерок» (показываем). Тут же объект — «некий», мера — «некая», но количество отложенных мерок по-прежнему представлена вещественно. С этими материально данными абстракциями проводятся те же операции соизмерения и определения понятий «больше», «меньше» и т. д. Причем каждый раз мы спрашивали: «Что означают эти предметы?». И таким образом они все время выступают лишь в функции представителей отложенных количеств, теперь уже совершенно абстрактных.
Все это подготавливает второй раздел программы — формирование понятий о числах первого десятка и арифметических действиях с ними.
Первая задача — создать положение, где числа становятся необходимостью. Это бывает, когда нужно сказать, а не показать вещественные количества, как на предыдущей ступени обучения, а сказать «сколько». Например, говорим ребенку: «Пойди и попроси воспитателя дать тебе столько карандашей, сколько здесь кубиков. Нет, кубики брать нельзя, они нужны нам здесь. Как это сделать? Для этого нужно знать числа и уметь считать. Вот теперь мы будем учить числа и учиться считать».
Первое число — единица. Ей сразу дается определение: это то, что равно данной мерке. Тут же показывается цифра: это написано число один, единица. Писать цифры мы не учим и пользуемся цифрами, написанными на карточках. Тотчас единица применяется в измерении и счете: отмерь столько… (показываем цифру) принеси один... (или столько— цифра); это сколько (показываем цифру или объекты равные мерке)? И т. д.
Проводятся специальные дифференцировки, чтобы показать, что и мера, отмеренное ею сами по себе не единицы, единица то, что отмерено, когда оно равно мерке и только по отношению к своей мерке.
Число «два» разъясняется на первом его составе: 1 + 1. Дается название и цифра. Тотчас вводится различение количественного и порядкового счета: «сколько всего» и «какой по порядку, по очереди». Счет прямой и обратный. Затем опять разнообразное применение в измерении и счете объектов. Так как два получалось через 1+1, то следующее число 1-1, т. е. 0. Мы разъясняем его как «ничего не осталось» (не умея сделать лучше) и дальше «отрабатываем», как и предыдущие числа. Число «три» образуем как 2+1, отрабатываем так же, но с него начинаем изучение «состава числа» путем всевозможных прибавлений и отниманий: 2+1, 2-1, 1+1 + 1. 1+2, 3-1, 3-2,3-1-1-1.
На материале четырех чисел: 0, 1, 2, 3 — мы даем правило образования чисел (натурального ряда). Для этого вертикально выкладываем цифры, а около каждой по горизонтали — эквиваленты (в соответствующем количестве). Получается лесенка, на которой легко показать, что «каждое следующее число больше предыдущего
36
на один», а «каждое предыдущее меньше следующего тоже на один»; для облегчения мы делим правило на эти две части. Тут же проводится обобщение правила: берем группу из 12—15 предметов, она вещественно представляет и говорим: «Вот у нас какое-то число предметов: какое будет следующее число? А еще следующее? А какое было предыдущее?». И т. д.
После «трех» каждое новое число дети образуют сами (предыдущее +1), и затем оно отрабатывается по следующей схеме:
1. Образование нового числа, его название и цифра.
2. Количественный и порядковый счет.
3. Обратный счет и счет от средних членов ряда (тоже прямой и обратный).
4. Отношения между смежными числами (на сколько больше, на сколько меньше).
5. Дифференцировка количественных отношений величин от их пространственных размеров и положения в пространстве.
6. Сложение и вычитание (всевозможные) в пределах нового числа простыми мерками (совпадающими с фактическими отдельностями).
7. То же «составными мерками» (равными нескольким фактически имеющимся конкретным величинам) с указанием как полученных единиц, так и числа полученных в результате отдельных предметов.
8. Изучение состава нового числа на основе сложения и вычитании (это подготавливается в двух предыдущие параграфах, а теперь проводится систематически).
С каждым новым числом знания по указанным 8 пунктам усваиваются все легче (вероятно, потому, что опираются на одну и ту же схему и на все возрастающий объем уже известных знаний).
В третьей части изучались зависимости между величиной, мерой и числом. Мы ограничились изучением того, что если мерку увеличить, то число станет меньше, а если взять меньшую мерку, то число будет больше (конечно, при неизменной величине), словом, что число показывает размер величины не прямо, а через мерку и чем больше число, тем меньше мерка. Все это показываем на конкретных величинах, причем дети еще раз убеждаются: нельзя сравнивать числа, полученные от измерения разными мерками, даже если они одного рода, а тем более если они разного рода (спичка и карандаш, длина и вес).
Описанная методика систематически затормаживает донаучную оценку величин по непосредственному сравнению и господствующему наглядному признаку. Кроме того, она воспитывает неуклонное применение мерки и последовательно формирует ряд понятий: мерка, отмеривание, соотношение отмеренных и одинаковых количеств одно к одному, больше, меньше, равно, настолько (больше, меньше), единица и т. д. Для каждого из них указывается действие, с помощью которого оно выделяется, каждому дается словесное выражение, и все они дифференцируются от сходных представлений донаучного опыта. При этом самые абстрактные понятия и правила опираются на материальные и наглядные модели. <...>
П.Я. Гальперин, Л.С. Георгиев. Формирование начальных математических понятий. Дошкольное воспитание. 1961, №6, с. 65-67.
37