2. Структурні схеми оптимальних приймачів

Малюнок 1-Спрощена структурна схема кореляційного приймача

Вихідні напруги інтеграторів, які пропорційні значенням кореляційних інтегралів, надходять на вхід блоку прийняття рішень БПР, в якому визначається величина max , по результатам чого виносять рішення про надходження на вхід приймача сигналу .

Оптимальне розрізняння повністю відомих сигналів можливе не тільки в кореляційному приймачі, а і в приймачі на узгоджених лінійних фільтрах УФ. Як відомо, напруга на виході будь-якого лінійного фільтраh

де - імпульсна характеристика лінійного фільтра.

Якщо використовується фільтр, узгоджений з сигналом, імпульсна характеристика фільтра і тоді напруга на виході фільтра в момент визначається значенням кореляційного інтеграла,

Напруги з виходів фільтрів знімаються в момент закінчення сигналу і подаються на вхід блоку прийняття рішень.

Малюнок 2- Спрощена структурна схема приймача на узгоджених фільтрах.

2. Обчислення завадостійкості (імовірності помилок розрізнення сигналів) оптимальних когерентних приймачів

Оптимальний когерентний приймач забезпечує мінімальну середню помилку розпізнавання повністю відомих сигналів на фоні нормального білого шуму.

Припустимо, що по системі передаються двійкові сигнали та на фоні нормального білого шуму

На вході приймача маємо суміш сигналу з нулем

Будемо обчислювати кореляційні інтеграли

У симетричній системі імовірності помилкових переходів сигналів

Тоді середня помилка буде рівнятись

Можна показати , що при даних умовах

Розглянемо системи передачі двійкової інформації при використанні трьох типів сигналів.

1. Протилежні сигнали, які реалізуються в системах зв’язку як сигнали з фазовою маніпуляцією

2. Ортогональні сигнали, які реалізуються в системах з частотним поділом каналів

3. Системи з амплітудною маніпуляцією, коли передається один із сигналів

Виходячи з цього, можна записати формули для обчислення імовірностей помилок в системах когерентного приймання фазовою, частотною та амплітудною маніпуляцією.

Видно що для забезпечення однієї і той же імовірності помилок в системах з ЧМ необхідно мати вдвічі більше відношення сигнал/ шум ніж в системі ФМ, а в системі АМ вчетверо більше.

Висновки

В лекції розглянуті основні положення теорії оптимального приймання сигналів в системах передачі інформації. Синтезовані алгоритми роботи оптимальних когерентних приймачів повністю відомих сигналів на фоні нормального білого шуму. Оптимальні формули для обчислення помилок розпізнавання сигналів з фазовою, частотною та амплітудною модуляцією.

лАБОРАТОРНА РОБОТА №3

Дослідження оптимального кореляційного приймача двійкових радіосигналів і його завадостійкості.

1 Ціль роботи

Дослідження принципів функціонування оптимальних кореляційних приймачів двійкових сигналів, завадостійкості цих приймачів, порівняння результатів експериментальних досліджень з теоретично досяжними можливостями.

2 Методичні вказівки

При підготовці до виконання лабораторної роботи необхідно вивчити теми 12,13 по конспекту лекцій та рекомендовану літературу [1, с. 82 - 93; 2, с. 167 - 173; 5, с. 152 - 164; 6, с. 158 - 168. Особливу увага звернути на наступні основні положення.

Приймання сигналів можливо, в принципі, виконувати різними способами за допомогою різних приймачів. Серед множини всіх можливих приймачів існує приймач, який забезпечує приймання з мінімальною імовірністю помилки. Такий приймач зветься оптимальним.

Задачею теорії є визначення алгоритму роботи та структури оптимального приймача, а також обчислення імовірності помилки, яка може бути досягнута.

Із-за наявності завад безпомилкове однозначне розпізнавання, безумовно, неможливе. Тому найбільше, що може зробити приймач на першому кроці – це вказати (обчислити) імовірності присутності в заданій реалізації y(t)

де kТ_с<t<(k+1)T_c, кожного із можливих сигналів передавача s(t,x_i).

На наступному кроці необхідно встановити правило винесення однозначного рішення. Тут можливі різноманітні підходи (критерії). В подальшому будемо вважати (як це частіше всього робиться, що на вході приймача у вхідній суміші y(t) присутній той сигнал, імовірність якого максимальна.

В основі синтезу оптимального приймача лежить теорема Байєса, яка пов’язує імовірності причин і наслідків. У випадку розпізнавання дискретних сигналів “причинами” є випадково виникаючі елементи повідомлень x_i і відповідні їм сигнали s(t,x_i).

Зрозуміло, що із-за випадковості завад кожна причина може викликати появу кожного наслідку будь-якої реалізації y(t). Це статистична ситуація описується матрицею умовних імовірностей

Слід підкреслити, що в ситуації, яка розглядається, приймач, в принципі, не може зробити більше, ніж обчислити по оптимальному наслідку-реалізації y(t) апостеріорні імовірності причин-сигналів s(t,x_i) і імовірності відповідних їм елементів повідомлення x_i.

Апостеріорні імовірності причин при заданому наслідку y_і(t) обчислюються у відповідності з теоремою Байєса

(4.1)

Тут – безумовна імовірність j-го наслідку, яка визначається згідно з теоремою про повну імовірність

. (4.2)

Отримавши у відповідності з (4.1) набір М апостеріорних імовірностей P[S(t,x;)y_j(t)] отримувач повинен обрати критерій, згідно з яким він буде приймати остаточне рішення про те, який, саме із сигналів передавався на інтервалі часу, що розглядається. В нашому підході це буде сигнал з найбільшою апостеріорною імовірністю.

Прийнявши до уваги фізичну природу причин і наслідків в задачі, що розглядається, у відповідності з (4.1) і (4.2) отримаємо

Тут і надалі р – імовірності, а w – густини імовірностей. Нагадаємо, що густини імовірностей w[y(t)|s(t,x_i] при заданих результатах спостережень називаються правдоподібностями причин.

В задачі розпізнавання сигналів, які не містять випадкових параметрів (тобто точно відомих), “причинами” є сигнали, що надходять на вхід s(t,х_і), імовірності яких дорівнюють імовірностям появи відповідних елементів х_і. “Наслідками” є реалізації суми сигналу і завади.

Кількісно опис ситуації зручно виконувати за допомогою розгляду векторів відповідних коливань. Замість сигналів s(t,х_і) ,будемо оперувати відповідними їм векторами . _і=(а_і1, а_і2,..., а_іN), а замість реалізацій у(t)-векторами . _і =(у_1, у_2,..., у_N), координати яких визначаються виразом

у_і= у(t)y_j(t)dt=a_ij+ _j, (4.3)

де _j= n(t)y_j(t)dt .

У відповідності з теоремою Байєса

(4.4)

Як було сказано раніше, рішення звичайно виноситься на користь сигналу, який має найбільшу апостеріорну імовірність. Так як знаменник (4.4) не залежить від номера і, то вирішуюче правило (алгоритм рішення) визначається так

R= (4.5)

У виразі(4.5) апріорні імовірності р(х_і) передавання елементів х_і повинні бути задані, тобто, необхідно визначити тільки функції правдоподібності Це можна зробити, виходячи з того, що завада адитивна. Так як

то густина імовірності Останній перехід справедливий тому, що і завади незалежні процеси.

Для подальшої конкретизації алгоритма необхідно задати вид завади. У більшості випадків мають місце нормальні (гаусові) або близькі до них завади. В цьому випадку обчислення виявляються найбільш простими і вирішуюче правило (4.5) можна подати у вигляді

R_Б= , (4.6)

Де ² – дисперсія (потужність) нормального “білого” шуму.

Приймач, який працює за алгоритмом (4.6), називається баєсівським або приймачем максимальної апостеріорної імовірності. Якщо апріорні імовірності елементів Р(х_і) однакові, то вирішуючи правило спрощується

(4.7)

Відповідний приймач зветься приймачем максимальної правдоподібності.

Вираз (4.7) досягає максимуму при мінімумі показника експоненти, тобто правило (4.7) можна записати у іншому вигляді

R_МП=min

або враховуючи векторне подання та ,

R_МП=min (4.8)

Тут перший член у скобках не залежить від номера і. Останній член – це енергія і-го сигналу. Якщо енергії всіх сигналів однакові, що звичайно має місце , то цей член також не залежить від номера і, таким чином , вирішуючи правило можна записати так:

R_МП = . (4.9)

Вираз (4.9) вже дозволяє визначити структуру оптимального приймача. Однак зручніше цей вираз подати в другому вигляді. Дійсно, врахуємо, що

y(t)s(t,x_i)dt.

Тоді остаточно отримаємо

R_МП= y(t)s(t,x_i)dt (4.10)

Структурна схема, яка реалізує послідовність операцій, які відповідають правилу (4.10), подана на рис.4.1.

Рисунок 4.1 – Схема електрична структурна оптимального кореляційного приймача.

Ця структура зветься оптимальним кореляційним приймачем, тому що основна операція , яка лежить в його основі – операція кореляції y(t) з усіма можливими сигналами s(t,x_i).

Із проведеного розгляду витікає, що у склад оптимального приймача повинні входити генератори, які виробляють зразки сигналів s(t,x_i), аналогічні тим, котрі використовуються в передавачі. Крім того, між роботою генераторів передавача і приймача повинна зберігатися синхронність та синфазність, тобто забезпечуватись ідеальна синхронізація.

Розглянемо фізику роботи приймача на прикладі бінарної системи зв’язку , яка використовує ортогональні сигнали у вигляді синусоїдальних коливань на інтервалах _kT_c T_c

S(t,x₁)=Ssin₁t; S(t,x₂)=Ssin₂t.

Частоти ₁ і ₂ повинні бути рознесені так, щоб виконувалась умова T_c,тобто щоб сигнали були практично ортогональними.

Нехай переданий сигнал S(t,x₁). Тоді на вході приймача діє реалізація із суміші сигнала і шума

Y(t)= Ssin₁t+n(t).

Кореляційний приймач обчислює дві величини

R₁= [Ssin₁t+n(t)] Ssin₁tdt,

R₂= [Ssin₁t+n(t)] Ssin₂tdt,

Кожен інтеграл складається з двох частин . Перша частина інтеграла в R₁ дорівнює енергії сигналу, тому що

(Ssin₁t)²dt=Е_с, а в R₂ дорівнює нулю, тому що сигнали практично ортогональні

Ssin₁t Ssin₂tdt 0.

Що стосується других частин обох інтегралів, то вони створюють випадкові величини.

= n(t)Ssin₁tdt , = n(t)Ssin₂tdt.

Таким чином

R₁=E_c+ , R₂=

При багатократному повторенні описаної процедури обчислень частіше всього буде, що при передаванні сигналу S(t,x₁) і, таким чином, у відповідності з правилом (4.10) приймач майже завжди буде виносити правильне рішення. Однак, іноді, не зважаючи на те, що E_c- постійна позитивна величина, може статися, що . Тоді у відповідності з (4.10) приймач винесе неправильне рішення, тобто буде мати місце помилка.

Аналогічно можна проаналізувати випадок , коли в системі зв’язку використовуються протилежні сигнали, наприклад

S(t,x₁)=Ssin₀t; S(t,x₂)=

В цьому випадку, як легко показати, величини R₁ і R₂ приймають наступні значення.

R₁=E_c+ , R₂= + ,

Ясно, що із-за наявності постійного негативного доданка в тобто

помилкові рішення (R₁>R₂) при інших рівних умовах будуть прийматися рідше , ніж у попередньому випадку і імовірність помилок знизиться.

При передаванні повідомлень важливо оцінити вірогідність передавання , яка у випадку дискретних повідомлень оцінюється імовірністю помилки, яка при досить великих обсягах передаваної інформації може бути обчислена як відношення помилково прийнятих елементів n_пом до загального числа прийнятих елементів n_заг.

.

Дуже важливо знати, при яких енергетичних параметрах забезпечуються дана вірогідність. Тому в теорії зв’язку вводять поняття завадостійкості, як функції вірогідності від відношення сигнал/завада на вході приймача по потужності

.

Теоретичні дослідження оптимального приймання бінарних повністю відомих сигналів на фоні нормального “білого” шуму дають такі розрахунки формули для обчислення завадостійкості.

Фазова маніпуляція (ФМ)

Частотна маніпуляція (ЧМ)

Амплітудна маніпуляція (АМ)

де Ф -табульована функція Крамна

де E_c-енергія сигналу,

N₀-спектральна густина нормального “білого”шуму.