2. Синтез, правила розрізнення сигналів у випадку приймання повністю відомих сигналів на фоні нормального білого шуму

У задачі розпізнавання сигналів, що не містять випадкових параметрів(тобто точно відомих), «причинами» є утворення сигналів , імовірності яких рівні імовірності появи відповідних елементів . «Наслідками» є реалізації суми сигналу й завади.

Кількісно опис ситуації зручно робити за допомогою розгляду векторів відповідних коливань. Замість сигналів будемо оперувати однозначно відповідними їм векторами , а замість реалізацій y(t) – векторами , координати яких визначаються вираженням, що у нашому випадку запишемо так:

(1)

Відповідно до теореми Байеса

Як було відзначено, рішення звичайно виноситься на користь сигналу, що має найбільшу апостеріорну ймовірність. Тому що знаменник не залежить від номера i, вирішуюче правило(алгоритм рішення) визначається так:

Варто звернути увагу на те, що в цих виразах ---- щільності ймовірностей, тому що компоненти вектора , як видно з (1), є неперервними випадковими величинами.

У виразі (3) апріорні ймовірності передачі елементів повинні бути задані. Отже, необхідно визначити тільки правдоподібності . Це можна зробити виходячи з того, що перешкода аддитивна. Тому що

,

щільність імовірності деякого значення вектора дорівнює щільності ймовірності, що вектор перешкоди прийме значення . Звідси витікає, що якщо - відома нам щільність імовірності вектора завади, то

Останній перехід справедливий тому, що сигнал і перешкоди - незалежні процеси.

Для подальшої конкретизації алгоритму необхідно задати певний вид завад. У більшості випадків мають місце нормальні (гаусівські) або близькі до них перешкоди. Обчислення в цьому випадку виявляються найбільш простими. При гаусівських перешкодах кожний компонент вектора розподілений за нормальним законом

(5)

У ряді випадків, зокрема, при рівномірному розподілі енергії перешкоди по смузі розглянутих частот, компоненти вектора є незалежними випадковими величинами. Тоді, як відомо,

(6)

При залежних компонентах вираження для істотно ускладнюється й цей випадок тут розглядати не будемо.

Відзначимо, що ,тобто є квадратом довжини(норми) вектора перешкоди.

Отже,

(7)

Відкинувши множники, що не залежать від номера сигналу i, що вирішує правило(3) можна представити у вигляді

(8)

Приймач, що працює по алгоритму(8), називається байесовским або приймачем максимальної апостеріорної ймовірності. Якщо апостеріорні ймовірності елементів однакові, то вирішальне правило спрощується:

Відповідний приймач називається приймачем максимальної правдоподібності. Правило(9) розкриває механізм роботи оптимального приймача.

Одержавши вектор y, за допомогою обробки реалізації y(t) необхідно обчислити відстань від його кінця до кінців векторів всіх можливих сигналів і винести рішення на користь того сигналу, для якого величина буде мінімальної, тому що саме в цьому випадку функція (9) досягне максимуму. Коротко можна сказати, що оптимальний приймач виносить рішення на користь сигналу «найближчого» до y(t).

Вираження(9) досягає максимуму при мінімумі показника експоненти. Отже, правило (9) можна записати в іншому виді:

або, з огляду на векторне подання

Тут перший член у дужках не залежить від номера i. Останній член - є енергія i-того сигналу. Якщо енергії всіх сигналів однакові, що звичайно має місце, те цей член також не залежить від номера i. Таким чином, що вирішує правило можна записати так:

Справедливість такого переходу обумовлена тим, що другий член в (10) має знак мінус і вираження (10) мінімізується, якщо цей член досягає максимуму. Вираження(11) уже дозволяє визначити структуру оптимального приймача. Однак зручніше це вираження представити в іншому виді. Дійсно, урахуємо, що

(12)

Тоді остаточно одержимо

(13)

Ця структура називається оптимальним кореляційним приймачем, тому що основна операція, що лежить у його основі, це операція кореляції y(t) з усіма можливими сигналами .

Із проведеного розгляду треба, що до складу оптимального приймача повинні входити генератори, що виробляють зразки сигналів , тотожні тим, які використовуються на передавачі. Крім того, між роботою генераторів передавача й приймача повинна дотримуватися синхронність і синфазність, тобто забезпечуватися ідеальна синхронізація.