Лекція 7 Оптимальний когерентний прийом дискретних сигналів

Мета – показати, що приймання сигналів в системах передачі інформації – найбільш складна і неоднозначні задачі. Визначити основні засоби теорії оптимального приймання сигналів. Розглянути структурні схеми оптимальних когерентних приймачів, засвоїти методи розрахунку їх завадостійкості. В лекції будуть розглянуті наступні питання:

1. Основні положення теорії оптимального приймання сигналів.

2. Синтез, правила розрізнення сигналів у випадку приймання повністю відомих сигналів на фоні нормального білого шуму.

3. Структурні схеми оптимальних приймачів

4. Обчислення завадостійкості (імовірностей помилок розрізнення сигналів) оптимальних когерентних приймачів.

1.Основні положення теорії оптимального приймання сигналів

Прийом сигналів - одна з найбільш складних теоретичних і інженерних задач передачі повідомлень. Складність полягає в тому, що в пункті прийому повідомлення необхідно витягати з модульованих сигналів-переносників, які в процесі проходження лінією зв'язку не тільки послабляються, але й піддаються впливам різних факторів, що спотворюють їх і завад різного виду.

Досить бажано мати у своєму розпорядженні методи прийому, які були б найкращими(оптимальними) у даних конкретних умовах. Напрямок, пов'язаний з відшуканням таких методів, називається теорією оптимального прийому.

Теоретичною основою рішення завдань оптимального прийому є теорія Байеса.

Деякі поняття теорії статистичних рішень. Нехай деяка випадкова фізична величина, що назвемо причиною, може приймати безліч значень(витоків) П с щільністю ймовірностей р(П), що вважається апріорною(заздалегідь відомою). Нехай причина викликає появу іншої випадкової величини - наслідку Н, що також може приймати безліч значень. Щільність імовірностей цих значень залежить від конкретних наслідків. Тому ситуація описується безліччю умовних щільносте імовірностей р(Н/П).

Статистичним рішенням називають процедуру, що полягає в тому, щоб, спостерігаючи конкретний наслідок , указувати його причину, яка його викликала . Тому що спостережуваний наслідок може бути викликаний будь-якою причиною П, можна визначити щільність імовірностей всіх можливих витоків, які могли викликати даний наслідок, тобто визначити функцію р(П | ). Ця функція називається апостеріорною (встановленою на підставі досвіду, що мав місце, або спостереження) щільністю ймовірностей причин.

Основою для ухвалення статистичного рішення є теорема Байеса

де - умовна щільність розподілу наслідків;

- безумовна щільність розподілу наслідків , обчислювана як

Значення цього інтеграла не залежить від П, оскільки інтегрування по цій змінній ведеться по всій області її існування Г.

Видно, що апостеріорна щільність імовірностей причини р(П| ) залежить від апріорної щільності ймовірностей причини р(П) і умовної щільності ймовірностей наслідків . Щільність р( /П) є функцією П, її називають функцією правдоподібності.

У теорії статистичних рішень показано, що при ухваленні рішення про конкретне значення причини що викликала спостережуваний (або заданий) наслідок , найменшу помилку можна зробити, якщо виносити рішення на користь того значення причини, при якій умовний розподіл має найбільше значення. Таке правило ухвалення рішення називається байєсівським.

Якщо апріорна щільність р(П) невідома, то якнайкраще, що можна зробити – припустити рівномірність її розподілу. Тоді рішення буде виноситися на користь того значення причини , при якому функція правдоподібності р( ) для спостережуваного наслідку приймає найбільше значення. Це означає, що таке значення причини вважається найбільш правдоподібним серед інших можливих значень. Подібна процедура ухвалення рішення називається правилом максимальної правдоподібності.

Застосуємо викладений підхід до рішення завдання оптимального прийому сигналів.

Суть процедури оптимального прийому. Установлено, що між коливаннями й векторами можна встановити взаємо-однозначну відповідність. Тому замість коливань можна розглядати відповідні вектори. Виходячи із цього, будемо вважати причиною П випадковий вектор х, що відповідає переданим повідомленням (або однозначно пов'язаний з ним вектор сигналів S, що переносять ці повідомлення), а наслідком - випадковий вектор, що відповідає суміші сигналу та шуму на вході приймача. З урахуванням сказаного (1) можна записати або у вигляді

або в еквівалентному виразу (2) виді

де - вектори в багатомірних просторах, що відповідають повідомленням x(t), сигналам s(t)=s[x(t),t] і вхідним реалізаціям y(t)=s(t)+n(t).

При передачі дискретних повідомлень безліч повідомлень x(t) може приймати тільки кінцеву кількість дискретних значень , який однозначно відповідає кінцева кількість сигналів, що розрізняються

Оптимальна процедура прийому полягає у визначенні величин для всіх М значень , порівняння цих величин між собою й виборі найбільшої з них. Значення , якому відповідає максимальна величина вважається переданим сигналом і відповідно до цього на виході приймача відтворюється повідомлення .

Основні труднощі при рішенні такого завдання пов'язані зі знаходженням апостеріорного розподілу . Найбільш детально завдання вирішене для завади типу гаусівського білого шуму й набору сигналів, заздалегідь відомих у точці прийому. Якщо при цьому всі повідомлення рівноймовірні й незалежні, то вираження для можна привести до виду

де - однобічна спектральна щільність потужності білого гаусівьского шуму;

А - деяка константа.

Знаходження сигналу , максимізуючого величину (4) при спостереженні на вході приймача деякої реалізації y(t), еквівалентно мінімізації показника експоненти. Отже, оптимальний приймач повинен виносити рішення про прийом того сигналу , при якому функція досягає максимуму, а величина

(5)

відповідно стає мінімальною.

З огляду на властивості векторного подання функцій часу, від вираження(5), можна перейти до еквівалентного йому вираження

Вираження(5) або (6) являє собою алгоритм роботи оптимального приймача дискретних повідомлень. Працюючи по цьому алгоритму, оптимальний приймач повинен обчислити значення величини для всіх М, використовуваних у системі сигналів (де j-1,2,…,М), зрівняти їх між собою, вибрати найменше значення й відтворити на виході відповідне йому дискретне повідомлення.

Іншими словами, оптимальний приймач завжди відтворює на виході повідомлення, утворене тим сигналом, до якого найбільш близька вхідна реалізація y(t). У геометричній інтерпретації це означає, що оптимальний приймач завжди відносить вектор вхідної реалізації до найближчого вектора сигналу.

Очевидно, що прийом сигналів у присутності шуму може приводити до помилок, оскільки вектор вхідної реалізації випадковий і з деякою ймовірністю може потрапити в будь-яку точку простору. Допустимо, що вектор , утворений з переданого сигналу й шуму n, потрапив у точку, найбільш близько розташовану до вектора сигналу .

Якщо i=j, то приймач прийме правильне рішення, якщо ж i≠ j , то рішення приймача виявиться помилковим і замість переданого повідомлення він помилково відтворить повідомлення .

Незважаючи на те, що оптимальний приймач дискретних повідомлень може допускати помилкові рішення, їхня ймовірність у цього приймача мінімальна в порівнянні з будь-якими реальними приймачами таких повідомлень.

Дослідження показують, що алгоритм може бути представлений у більше зручному для схемної реалізації виді й дозволяє одержати структурні схеми оптимальних приймачів і вираження для розрахунку завадостійкості.