4.Кодова відстань і її зв'язок із кратністю помилок що виявляються й або, що виправляються.

Побудуємо лінійну модель коду

- дозволені комбінації, - заборонені комбінації.

Розглянемо процес виявлення помилок

Нехай була передана дозволена кодова комбінація, а прийняли одну із заборонених комбінацій. Це значить, що в кодовій комбінації є помилка.

Кратність помилок, що виявляються.

При проектуванні коду призначеного для виявлення помилок кратністю необхідно забезпечити виконання нерівності

.

Надмірність коду:

.

- кількість спотворених символів кодової комбінації, що можуть бути виявлені.

Розглянемо процес виявлення помилок.

Принцип максимальної правдоподібності. Будемо вважати, що була передана та кодова комбінація, що лежить на мінімальній відстані від прийнятої забороненої. Імовірність спотворення одного символу . Імовірність спотворення комбінації символів в комбінації.

,

При незалежних помилках імовірність спотворення великої кількості символів різко падає в порівнянні з імовірністю спотворення одного символу.

При виправленні комбінації ми вважаємо, що була передана та комбінація, що лежить на мінімальній відстані від прийнятої забороненої.

Кратність помилок, що виправляються

Імовірність не виправлення кодових комбінацій. При передачі кодових комбінацій виникають наступні ситуації - дозволена кодова комбінація може бути:

1. прийнята правильно

2. с помилкою, що може бути виправлена

3. с помилкою, що не виправляється

Помилка може бути виправлена, якщо виправляючі здатності коду відповідають кількості прийнятих символів прийнятої комбінації

- імовірність правильного прийому кодової комбінації,

- імовірність виправлення помилок заданої кратності,

Імовірність помилкового прийому одного символу - ,

Сума цих імовірностей дорівнює одиниці ,

імовірність виправлення кодової комбінації при довільній кількості помилок, рівній на фіксованих позиціях коду.

При довільному розміщенні помилково прийнятих символів у коді, що виправляє помилок,

,

де

Імовірність виправлення помилок кратності від 1 до включно

Імовірність помилок, що не виправляються

При =1

.

Оскільки

.

Найпростіший загальний алгоритм декодування завадостійких кодів.

- кількість повідомлень, що підлягають кодуванню, вони кодуються дозволеними кодовими комбінаціями. Ці комбінації передаються каналом зв'язку. На виході каналу зв'язку може бути прийнята кожна з M- можливих комбінацій. Загальний алгоритм виправлення помилок полягає в тому, що прийняту комбінацію порівнюють із усіма дозволеними комбінаціями й ухвалюють рішення щодо передачі тої, котра перебуває на мінімальній відстані від прийнятої забороненої.

В наведеному вигляді алгоритм потребує складної апаратної реалізації, бо необхідно спочатку одчислити сум виду , де і змінюється від 1 до , а потім порівняти їх між собою, знайти мінімальну суму і прийняти рішення про передану комбінацію .

На практиці використовують більш складні алгоритми, які мають високу швидкодію і просту апаратну реалізацію. Деякі з них ми розглянемо в наступних лекціях.