ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

4.1. Линейные и дробно-линейные функции

4.1.1. Прямая пропорциональность

Функция y kx , где k действительное число, k 0 , называется пря-

мой пропорциональностью. Основные свойства:

1.Область определения – R ;

2.Область значений – R ;

3.Функция нечетная;

4.Если x 0 , то y 0 ;

5.Если k 0 , то функция возрастает на множестве (рис.4.1, а);

6.Если k 0, то функция убывает на множестве (рис.4.1, б);

7.График прямой пропорциональности – прямая, которая проходит через

начало координат.

Рис.4.1

4.1.2. Линейная функция

Функция y kx b , где k R ,b R , называется линейной функцией. Основные свойства:

1.Область определения – R ;

2.Область значений – R , если k 0 ; b , если k 0;

3.Если k 0 , b 0 , то функция ни четная, ни нечетная; если k 0 – функция четная; если b 0 ,k 0 – нечетная; если k 0, b 0 – и четная, и нечетная;

4. Если x 0 , то y b ; если x b , функция y 0 ; k

25

5. Если k 0 , то функция возрастает на множестве R (рис. 4.2, а); если k 0 , то функция убывает на множестве R (рис. 4.2, б); если k 0 , то функция постоянна, y b (рис.4.2, в);

6. График линейной функции – прямая, образующая с осью абсцисс угол

, тангенс которого равен k .

4.1.3. Обратная пропорциональность

Функция y k , где k R , k 0 , называется обратной пропорциональ- x

ностью.

Основные свойства:

1.Область определения – ( ;0) (0; ) ;

2.Область значений –( ;0),(0; ) ;

3.Функция y k нечетная;

x

4. Если k 0 , то на интервале ( ;0) функция убывает, на интервале

(0; ) – также убывает (рис. 4.3, а). Если k 0, то на интервалах

( ;0),(0; ) функция возрастает (рис. 4.3, б);

5. График функции y k оси координат не пересекает; x

6.Если k 0 ,то при x 0 функция принимает положительные значения, а при x 0 – отрицательные.

Если k 0, то при x 0 функция принимает отрицательные значения, а при x 0 – положительные;

7.График обратной пропорциональности – гипербола.

26

Рис. 4.3

4.1.4. Функция y x

Основные свойства:

1.Область определения – R ;

2.Область значений – 0; ;

3.Функция четная;

4. Если x 0, то y 0 . Если x 0 , то y 0 . График функции расположен в верхней координатной полуплоскости;

5.Если x 0 , то функция убывает; если x 0, то функция возрастает;

6.График функции – объединение двух лучей: биссектрис первой и второй координатных четвертей (рис.4.4).

x

0