ГЛАВА 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ВЫРАЖЕНИЙ

1.1. Многочлены

1.1.1. Формулы сокращенного умножения

В некоторых случаях приведение многочлена к стандартному виду осуществляется с помощью формул тождеств сокращенного умножения. Приведем эти формулы:

1. a b a b a2 b2; 2. a b 2 a2 2ab b2 ; 3. a b 2 a2 2ab b2 ;

4. a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3; 5. a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3; 6. a b a2 ab b2 a3 b3; 7. a b a2 ab b2 a3 b3.

Примеры. Привести данные выражения к стандартному виду:

1.3a2 4b3 3a2 4b3 3a2 2 4b3 2 9a4 16b6 ;

2.3a2 2b3 2 3a2 2 2 3a2 2b3 2b3 2 9a4 12a2b3 4b6 ;

3.a 2 3 a a 3 2 a3 6a2 12a 8 a a2 6a 9

a3 6a2 12a 8 a3 6a2 9a 12a2 3a 8.

1.1.2. Операции над многочленами одной переменной

Пусть P x – многочлен, представляющий сумму следующих одночле-

8

Теорема. Два многочлена от одной переменной, приведенные к стандартному виду, тождественны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одноименных степенях переменных в обоих многочленах совпадают.

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. В некоторых случаях выполнимо и деление.

Теорема. Для любых двух многочленов P x и Q x таких, что степень

P x не меньше степени Q x , существует одна и только одна пара много-

членов S x и R x таких, что выполняется тождество:

P x Q x S x R x , причем степень многочлена R x меньше степени многочлена Q x .

P x – делимое; Q x – делитель; S x частное; R x остаток.

Для деления многочленов, приведенных к стандартному виду, применяется правило «деления углом», аналогичное в некотором смысле правилу деления многозначных чисел.

коэффициенты которого целые числа a0 0 . Если целое число x b является корнем многочлена P x , то оно служит делителем свободного члена an .

Пример. Найти корни многочлена x3 10x2 x 10. Свободный член имеет следующие делители: 1; 2; 5; 10.

9