5. Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a, b

и c , равен:

1

1

a, b,

c

, треугольной призмы

a,

b

, c

,

четырехугольной пирамиды

6

2

1

a, b, c

;

3

, ay , az ;

, то

6. Если a ax

b bx ,by ,bz ; c cx ,cy

,cz

ax

ay

az

;

a,b,c

bx by bz

cx

cy

cz

то векторы образуют правую тройку, а если

7. Если a,b

,c 0 ,

a,b,c 0 , то левую.

A(2, 1, 2), B(1,2,1,),C(2,3,0), D(5,0, 6) ле-

Пример 5. Доказать,

что точки

жат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать,

что векторы AB, AC и AD компланарны,

то есть их смешанное произведение равно нулю.

AB 1;3;3 , AC 0;4;2 , AD 3;1; 4 ,

1 3

3

=

0 4 2

16 18 36 2 0.

AB, AC , AD

3 1 4

2.

Даны вершины треугольника A(1,2, 3), B(1,0,1)

и C( 2, 1,6). Найти ко-

ординаты точки пересечения медиан треугольника.

3.

Даны три единичных вектора m ,n и p, образующие с осью l углы

,

и

2

соответственно. Найти проекцию вектора a 3m 4n 2 p на

6

3

3

ось l .

4.

При каких значениях и точка C( , , 2)

лежит на одной прямой с

точками A(1,2,1) и B(2, 1,3)?

6. Параллелограмм построен на векторах a 3m 5n и b

где

2m

3n,

m

2,

n

1,

а угол между ними равен

3

. Найти длины векторов a

и b.

4

Найти косинус угла между ними.

7. Даны вершины треугольника: A(1, 1,1), B( 2,0,3),C(2,1, 1). Найти внут-

ренний угол треугольника при вершине A .

8. Даны два вектора

3 j 6k и b i

2 j 2k,

построенные из

a 2i

одной точки. Найти орт биссектрисы угла между ними.

9.

Найти

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

a 3p 2q

p

2,

q

3,

а угол между ними равен

.

и b p 5q, если

10.

6

Вычислить площадь

треугольника

с

вершинами в

точках