1.2.3. Использование тождеств сокращенного умножения

Пример. Разложить на множители x4 16.

x4 16 x2 2 42 x2 4 x2 4 x 2 x 2 x2 4 .

1.2.4. Разложение многочлена на множители с помощью его корней

Теорема. Пусть многочлен P x имеет корень x1. Тогда этот многочлен можно разложить на множители следующим образом: P x x x1 S x , где S x – некоторый многочлен , степень которого на единицу меньше

значения поочередно в выражение для P x .Получим, что при x 2 вы-

ражение обратится в 0, то есть P 2 0 , что значит x 2 – корень много-

члена. Разделим многочлен P x на x 2 .

_ 12x 2412x 24

0

Итак,

P x x 2 x2 x 12 x 2 x2 3x 4x 12 x 2 x x 3 4 x 3

x 2 x 3 x 4

1.3. Выделение полного квадрата

Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул: a2 2ab b2 a b 2 , a2 2ab b2 a b 2 .

Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде a b 2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Квадратным трехчленом относительно переменной величины ется выражение вида

11

2x5 128x2 y3 2x2 x3 64y3 2x2 x 4y x2 4xy 16y2 .

2. Разложить на множители P x, y, z 20x2 3yz 15xy 4xz . Применим способ группировки

20x2 3yz 15xy 4xz 20x2 15xy 4xz 3yz 5x 4x 3y z 4x 3y

4x 3y 5x z .

3. Разложить на множители P x, y x4 4y4 . Выделим полный квадрат:

x4 y4 x4 4x2 y2 4y2 4x2 y2 x2 2y2 2 4x2y2

x2 2y2 2xy x2 2y2 2xy .

1.5. Свойства степени с любым рациональным показателем

Степень с любым рациональным показателем обладает свойствами:

1. ar1 ar2 ar1 r2 ,

где a 0;b 0; r1; r2 – произвольные рациональные числа.

Примеры:

1.6.Упражнения для самостоятельного выполнения

1.Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения. 1) a 5 2 ;

2)3a 7 2 ;

3)an bn 2.

4)1 x 3;

13

7)8 a2 8 a2 ;

8)anbk ak bn anbk ak bn .

9)a 2b a2 2ab 4b2 ;

10)a 3 a2 3a 9 ;

11)a2 b2 a4 a2b2 b4 .3

2. Вычислить, используя тождества сокращенного умножения:

1)532 432 ;

2)22,42 22,32 ;

4)30 2 2 ;

5)512 ;

6)992 ;

7)172 2 17 23 232 ;

8)852 2 85 15 152 .

3. Доказать тождества:

1). x2 1 3 3 x2 x 1 2 6x x 1 11 x3 3 2 2;

2)a2 b2 2 2ab 2 a2 b2 2 ;

3)a2 b2 x2 y2 ax by 2 bx ay 2 .

4. Разложить на множители следующие многочлены:

1)3x a 2 a 2;

2)ac 7bc 3a 21b ;

3)63m4n3 27m3n4 45m5n7 ;

4)5b2c3 2bc2k 2k 2 ;

5)2x3 y2 3yz2 2x2 yz 3z3;

6)24ax 38bx 12a 19b ;

7)25a2 1 b2q2;

4

8)9 5a 4b 2 64a2 ;

9)121n2 3n 2t 2 ;

10)4t2 20tn 25n2 36;

14

11)p4 6 p2k 9k 2 ;

12)16 p3q8 72 p4q7 81p5q6 ;

13)6x3 36x2 72x 48;

14)15ax3 45ax2 45ax 15a;

15)9 a3n 1 4,5 a2n 1;

16)5 p2nqn 15 p5nq2n ;

17)4a7b2 32a4b5 ;

18)7x2 4y2 2 3x2 8y2 2 ;

19)1000t3 27t6 .

5. Вычислить наиболее простым способом:

1)593 413 ;

18

2)673 523 67 52. 119

6.Найти частное и остаток от деления многочлена P x на многочлен Q x : 1) P x 2x4 x3 5; Q x x3 9x ;

2) P x 2x 2; Q x x3 2x2 x ; 3) P x x6 1; Q x x4 4x2 .

7.Доказать, что многочлен x2 2x 2 не имеет действительных корней.

8.Найти корни многочлена:

1)x3 4x ;

2)x3 3x2 5x 15.

9. Разложить на множители:

1)6a2 a 5 5 a 3 ;

2)x2 x 3 2x 3 2 4x3 3 x 2;

3)x3 6x2 11x 6.

10. Решить уравнения, выделяя полный квадрат:

1)x2 2x 3 0;

2)x2 13x 30 0 .

11. Найти значения выражений:

15

1254

3) 53 25 7 ;

1

4) 0,01 2 ;

5

5) 06 .

12. Вычислить:

13. Преобразовать выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней:

1) 2a 2b ;

14. Упростить выражения: 1) 4 m7n 3x2 13 m 3n 2 x3;

16

17