|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
2 tg x |
1 |
|
1 |
|
x 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
' |
2ex |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: |
y |
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
x |
1 |
3 |
|
|
|
|
sin |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
tg x |
|
|
x |
|||||||||||
Задание 2. Найти производную функции y xsin x .
Решение. Для нахождения производной показательно-степенной функции используем предварительное логарифмирование, формулу производной сложной функции и формулу производной логарифмической функции.
Согласно всем указанным формулам, ln y 1 y . y
Тогда
y y ln y
Так как y xsin x , то ln y ln(xsin x ) sin x ln x .
(ln y) (ln(xsin x )) (sin x ln x) (sin x) ln x sin x(ln x) cos x ln x
По формуле (3)
y (x |
sin x |
) x |
sin x |
sin x |
|
|
cos x ln x |
|
. |
||
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
Ответ. y x |
sin x |
sin x |
||
cos x ln x |
|
. |
||
x |
||||
|
|
|
||
(3)
sin x . x
Предварительное логарифмирование используется и в тех случаях, когда производная находится для функции, содержащей три и более сомножителей.
11.2.Задания для самостоятельной работы
1.Пользуясь формулами дифференцирования и таблицей производных, найти производные следующих функций:
а) y 5 x2 2 x 3; б) y x2 ln x;
в) |
y |
3x |
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
cos x |
||||||
г) |
y x |
|
|
2 |
. |
|||
x |
||||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
||
2. Найти производную функций:
а) y cos5 x ;
x
б) y ln tg ;2
92
в) |
y ln |
x |
; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
y |
1 sinx |
; |
|
||||
1 sinx |
|
|||||||
д) |
1 |
|
|
|
||||
y (1 x) x ; |
|
|
|
|||||
е) |
y (cosx)x (x)cosx; |
|
||||||
ж) |
y arctg( xx ) ; |
|
||||||
3. |
Доказать, |
|
что функция y xe x |
удовлетворяет уравнению |
||||
x y (1 x) y.
4. Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найти производные следующих функций:
а) y x 1 ;
x 1
2 5
б) y 3 x3 2 x2 x 3 ;
в) y ln x arcsinx;
2 x 3
г) y x2 5 x 5 ;
д) y sin x cos x ;sin x cos x
е) y x ln x x;
ж) y ex sin x cosx .
5. Найти производные сложных функций:
а) |
y cos2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) |
y sin3 x; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) |
y arccos |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) |
|
|
x2 |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) y ln2 x lnln x; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
е) |
y tg x lncos x tg x x |
|
|
|||||||||||||||||
ж) |
|
|
|
ctg |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y 2 |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||
з) |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
и) |
y 2arcsin3x (1 arccos3 x)2 ; |
|||||||||||||||||||
|
y |
3 |
|
|
x2 1 |
1 |
|
x 1 |
1 |
arctg x . |
||||||||||
к) |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
|
6. Найти производную заданной функции и вычислить её значение в указанной точке:
а) |
y |
|
cost |
|
в точке t |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
1 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
в точке x 1; |
|
|
|
|
||||||
y (x2 x 2) 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
в) |
y sin2 2x в точке x |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||
г) |
y |
|
|
x 1 |
|
в точке x 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
e |
||
Доказать, |
что |
функция |
y |
|
|
|
удовлетворяет уравнению |
|||||||||||
|
2x2 |
|
||||||||||||||||
xy 2y e x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. Вычислить производную функции, применяя предварительное логарифмирование:
а) |
y x x ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
y (cos x)sin x ; |
|||||||||
|
|
1 |
x |
|||||||
в) |
y 1 |
|
|
|
; |
|
|
|
||
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y 3 |
x3 x2 |
1 |
|
||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
5 x |
|||||||
д) |
y arctg x x xarctg x . |
|||||||||
94