ГЛАВА 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

В качестве простейших числовых функций рассматриваются много-

ниями переменной или критическими точками рациональной функции

P x

y n . Q x

Рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.

Рациональные неравенства часто удается решить так называемым методом интервалов. Этот метод основан на одном важном свойстве рациональной функции: в интервале между двумя своими соседними критическими точками рациональная функция сохраняет знак.

Метод интервалов состоит в следующем. Рациональное неравенство приводят к виду:

Затем находят все критические точки рациональной функции. Эти точки отмечают на числовой оси. Вся числовая ось разбивается критическими

18

точками на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак. Чтобы определить знак левой части на всем

этого интервала и тем самым установить, входит ли этот интервал в множество решений данного неравенства.

Что касается самих критических точек, то в случае строгого неравенства

P x

m

решений, если только они не являются нулями и многочлена Q x .

m

Заметим, что метод интервалов применим только тогда, когда известны (или могут быть найдены) нули многочленов P x и Q x , т. е. критиче-

В самом деле, x3 3x2 x 3 x2 x 3 x 3 x 3 x 1 x 1 .

Неравенство можно записать теперь следующим образом:

x 3 x 1 x 1 0 .

x 1 x 2

Критические точки рациональной функции: x 2 , x 1, x 1, x 3 .

Числовая ось разбирается этими точками на 5 интервалов. Отмечаем точки на числовой оси.

Для определения знака функции на каждом интервале можно действовать следующим образом. Замечаем, что при x 3 все линейные множители числителя и знаменателя рациональной функции положительны и, следо-

19

вательно, на интервале 3; функция принимает только положительные значения.

При переходе через точку x 3 от интервала 3; к интервалу 1; 3 лишь один из линейных множителей, а именно x 3, изменяет знак и, следовательно, функция становится отрицательной.

Затем, переходя к следующему интервалу 1; 1 , устанавливаем, что знак изменяется только у множителя x 1. Это означает, что при переходе через точку x 1 левая часть неравенства изменяет знак. При переходе через точку x 1 знак функции, очевидно, сохраняется, так как множитель x 1 присутствует и в числителе и в знаменателе рациональной функции. Наконец, переход к последнему интервалу ; 2 опять сопровождается изменением знака функции. Чередование знаков фиксируем на рисунке.

Поскольку неравенство строгое, сами критические точки не являются решениями.

Ответ. 2; 1 1;1 3; .

В процессе решения данного неравенства может возникнуть соблазн заменить его с самого начала более простым неравенством

x 1 x 3

x 2

0.

Такое упрощение (сделанное без всяких оговорок) приведет к ошибке. Полученное неравенство неравносильно исходному, так как в его множество решений входит x 1, а это значение переменной не является решением данного неравенства.

4 x x

Критические точки рациональной функции: x 3 , x 0 , x 4. Числовая ось разбивается на 4 интервала, на каждом из которых легко определяется знак функции.

При определении знака нужно следить только за изменением знака линейных множителей знаменателя, так как квадратичные множители числите-

ля x 3 2 и x2 x 1положительны на всех интервалах. Из трех критических точек только x 3 входит в множество решений неравенства.

Ответ. 3 0;4 .

20

Для нахождения области определения данной функции нужно решить не-

x 1 x2 x 1

Так как x2 x 1 0для всех значений переменной, переходим к равно-

сильному неравенству x 1 x 2 0.

x 1

Критические точки разбивают числовую ось на три интервала.

+–

x

1 2

Определяем знак левой части неравенства на каждом интервале. Исследуем сами критические точки: точка x 2 является нулем числителя и, так как неравенство нестрогое, входит в множество решений. Точка x 1, хотя и является нулём числителя, не принадлежит множеству решений изза того, что обращает нуль в знаменатель.

Ответ: ; 1 1;2 .

2.1. Задачи для самостоятельного решения