P 1 0, следовательно x 1 – корень многочлена;

P 1 0 следовательно x 1– также корень многочлена;

P 2 0; P 2 0; P 5 0; P 5 0; P 10 0;

P 10 0 следовательно x 10 – корень многочлена.

1.2. Разложение многочленов на множители

Иногда удается преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей-многочленов или одночленов. Такое тождественное преобразование называется разложением на множители. Разложение на множители применяется довольно часто, например, при действиях с алгебраическими дробями ( сокращение дробей, приведение к общему знаменателю) ,при решении уравнений и т.д.

Теорема. Всякий многочлен P x степени n 2 можно представить в виде произведения многочленов степени не выше второй.

Рассмотрим некоторые примеры разложения многочленов на множители.

1.2.1. Вынесение общего множителя за скобку

Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона: ac bc a b c

Пример. 28x3 35x4 7x3 4 7x3 5x 7x3 4 5x .

1.2.2. Способ группировки

Законы сложения позволяют группировать члены многочлена любым способом. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобку общих множителей в скобках разных групп остается один и тот же многочлен, который как общий множитель, в свою очередь, может быть вынесен за скобку. В этом и состоит способ группировки.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

x3 3x2 5x 15 x3 3x2 5x 15 x2 x 3 5 x 3 x 3 x2 5 .

Пример 2. Разложить на множители многочлен x2 5x 6.

Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях полезно представить какой либо многочлен в виде некоторой суммы, после чего удается сделать удачную группировку. В данном случае представим 5x 2x 3x, тогда x2 5x 6 x2 2x 3x 6 x x 2 3 x 2 x 2 x 3 .

10