4) если векторы a и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны,
то есть ax ay az . bx by bz
10.2.6. Направляющие косинусы вектора
Направление вектора в пространстве определяется углами , , , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются
направляющими косинусами вектора. |
|
что: ax |
|
|
|
|
a |
|
|
ay |
|
a |
|
cos , |
||||||||||
Из свойств проекций |
|
следует, |
|
|
|
|
cos , |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
az |
|
a |
|
cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
a |
ay |
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
x |
, cos |
|
|
|
, cos |
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
Легко показать, что:
1)cos2 cos2 cos2 1;
2)координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами.
10.3.Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, которое
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначается (a,b) или ab , и которое равно произведению длин этих век- |
|||||||||
торов на косинус угла между ними: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
cos , |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
(a,b) |
|
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где угол между векторами a и b .
Можно показать, что если a ax , ay , az , b bx ,by ,bz , то
(a,b) axbx ayby azbz .
10.3.1. Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1)(a,b) (b, a) ;
|
|
|
|
|
2) (a,b) ( a,b) (a, b) ; |
||||
|
|
|
|
|
3) (a b,c) (a,c) (b,c) ;
84