МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Глава 3

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

Как было показано, использование системы координат устанавли- вает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством их радиусов-векторов. Это в свою оче- редь позволяет свести исследование свойств линий, поверхностей или тел к изучению множеств радиусов-векторов, соответствующих точ- кам, образующим исследуемые геометрические объекты.

Глава 3 посвящена методам описания и исследования свойств про- стейших геометрических объектов – прямой и плоскости – средствами векторной алгебры. В главах 3, 4 и 5 настоящего пособия будут ис- пользоваться обозначения координаты по оси абсцисс через x , коор- динаты по оси ординат через y и координаты по оси аппликат че-

рез z, равно как и стандартные формы записи уравнений.

§ 3.1. Прямая на плоскости

→ →

Пусть дана система координат {O, g1 , g2 } на плоскости и пря-

→

мая L, проходящая через точку r0 , с лежащим на ней ненулевым век-

→

тором a .

→

Определение Вектор a называется направляющим вектором

3.1.1.прямой L .

Теорема доказана.

Рис. 3.1.1

Найдем теперь координатное представление множества радиусов-

3.1.2.нат может быть задана уравнением вида

Подберем числа x0 и y0 так, чтобы Ax0 + By0 + C = 0 .

→

реме 3.1.2 имеем, что прямая, проходящая через точку r0 в на-

→

правлении вектора a , имеет уравнение вида

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .

Следовательно, исходное уравнение есть уравнение прямой.

Теорема доказана.

Замечание: из теорем 3.1.1–3.1.3 следует, что каждое линейное уравнение в декартовой системе координат на плоскости задает некоторую конкретную прямую, но, с другой сто- роны, конкретная прямая на плоскости может быть зада- на бесчисленным множеством линейных уравнений и ес- тественно возникает вопрос: при каких условиях два разных линейных уравнения задают одну и ту же пря- мую?

Теорема Для того чтобы уравнения

3.1.4.

были уравнениями одной и той же прямой, необходи- мо и достаточно, чтобы существовало число l ¹ 0 , такое, что

A1 = λ A2 ; B1 = λB2 ; C1 = λC2 .

= λ1 ( A1 x +B1 y +C1 ) = 0 ,

но поскольку l ¹ 0 , то A1 x + B1 y + C1 = 0 .

Аналогично из равенства A1 x + B1 y + C1 = 0 следует, что и

A2 x + B2 y + C2 = 0 .

Доказательство необходимости.

Пусть уравнения

A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0

суть уравнения одной и той же прямой в некоторой декарто- вой системе координат. Тогда их направляющие векторы кол- линеарны и существует (по теореме 3.1.2) l ¹ 0 , такое, что

A1 = λ A2 ; B1 = λB2 .

С другой стороны, из равносильности уравнений

λA2 x + λB2 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0

следует, также, что и C1 = λC2 .

Теорема доказана.

Замечание: уравнение прямой не в любой системе координат явля- ется алгебраическим уравнением первой степени. На- пример, в полярной системе координат (см. § 4.6) оно может иметь вид

ρ = P sec(ϕ + ϕ0 ) .

получим так называемую нормальную форму записи уравнения

x cos ϕ + y sin ϕ + ρ = 0 .

Геометрический смысл параметров ρ и ϕ ясен из рис. 3.2.2.

Рис. 3.2.2

Замечание о линейных неравенствах

Аналогично тому, как линейное уравнение задает на плоскости прямую, линейное неравенство

Ax + By + C > 0 , A + B > 0

определяет часть плоскости (множество точек, координаты которых x и y удовлетворяют данному неравенству), ограниченную прямой

Ax + By + C = 0 , A + B > 0 .

Покажем справедливость данного утверждения для случая, когда пря-

→ →

мая L : (n, r ) = d делит плоскость P на две части, обозначаемые

P+ и P− (см. рис. 3.2.3).

Рис. 3.2.3

ная проекция M на прямую L .

Тогда справедлива