МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

§ 5.4. Аффинные преобразования и их свойства

Линейные операторы, преобразующие плоскость саму в себя (то

оператор, играют важную с практической точки зрения роль и пото- му выделяются в специальный класс.

разованием плоскости.

из них можно образовать базис.

Сопоставляя определение 1.8.2 и следствие 5.3.1, замечаем, что

→ →

втом случае, когда базис {g1 , g2 } является образом базиса

→ →

Но поскольку для любой пары базисов матрица перехода су- ществует, единственна и невырождена, то и преобразование, переводящее первый базис во второй, существует, аффинное и единственное.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь вопрос о том, что происходит с различными геометрическими объектами на плоскости при ее аффинном преобра- зовании.

Теорема При аффинном преобразовании образом прямой ли-

5.4.4.нии является прямая.

Доказательство.

x = x0 + τ p

Пусть даны прямая y = y0 + τ q , где p и q − не равные нулю

одновременно координаты направляющего вектора прямой, и аф-

Если же прямые-прообразы пересекаются, то в силу взаимной однозначности аффинного преобразования образом их точки пересечения может быть только точка пересечения образов этих прямых.

Теорема доказана.

Теорема При аффинном преобразовании сохраняется деление

5.4.6.отрезка в данном отношении.

=α11λ(x3 − x2 ) + α12 λ( y3 − y2 ) = λ .

α11 (x3 − x2 ) + α12 ( y3 − y2 )

y − y

Аналогично показывается, что 2 1 = λ .

y3 − y2

Заметим, что из полученных соотношений следует равенство отноше- ния длин образов и отношения длин прообразов отрезков, лежащих на одной прямой. Проверим справедливость этих утверждений для случая ортонормированной системы координат:

Теорема доказана.

Отметим также, что из теоремы 5.4.6 непосредственно вытекает, что при аффинном преобразовании отрезок прямой переходит в отре- зок.

Теорема При аффинном преобразовании отношение длин обра-

5.4.7.зов двух отрезков, лежащих на параллельных прямых, равно отношению длин их прообразов.

Доказательство.

вании образы параллельных прямых параллельны, то в силу

Рис. 5.4.2

Теорема доказана.

Теорема При аффинном преобразовании всякая декартова сис-

5.4.8.тема координат переходит в декартову систему коор- динат, причем координаты образа каждой точки плос- кости в новой системе координат будут совпадать с координатами прообраза в исходной.

Доказательство.

Рис. 5.4.3

Пусть исходная система координат образована базисом

→→

{g1 , g2 } и началом координат O . Согласно теореме 5.4.3 при аффинном преобразовании базис переходит в базис. Дополняя

преобразованный базис образом начала координат O , мы по-

→ →

лучаем преобразованную систему координат {O , g1 , g2 }.

178 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Пусть в исходной системе координаты точки-прообраза M суть x и y , а в преобразованной системе координаты точки-

После естественного обобщения на случай координат различ- ных знаков получаем доказываемое свойство.

Теорема доказана.

Для выяснения геометрического смысла числовых характеристик матрицы аффинного преобразования переформулируем определение

1.8.3 ориентации пары неколлинеарных векторов на плоскости, ис-

пользуя операцию векторного произведения.

→

Определение Пусть n есть некоторый нормальный вектор плоско-

5.4.2.сти P , направленный в сторону наблюдателя. Тогда

→→

пару неколлинеарных векторов a и b назовем пра-

воориентированной, если существует λ > 0 (и соот- ветственно левоориентированной, если существует

→ → →

λ < 0 ) такое, что [a, b] = λ n .