Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Глава 5 . Преобразования плоскости

149

3°. Наконец, пусть размер A и B есть 2 × 2 , тогда матрица C будет иметь размер 2 × 2.

Замечания об умножении матриц

Из определения произведения матриц непосредственно следует, что для матриц подходящих размеров:

1)умножение матриц некоммутативно, то есть в общем слу-

чае A B ¹ B A ,

2)умножение матриц ассоциативно

A ( B C ) = ( A B ) C ,

3)умножение матриц обладает свойством дистрибутивно-

сти A ( B + C ) = A B + A C .

Отметим еще раз, что произведение двух матриц существует толь-

ко тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.

Легко убедиться, что умножение (как справа, так и слева) любой

матрицы

на подходящего размера единичную матрицу

(см. § 1.1) дает в результате ту же самую матрицу

Определение

Матрица

−1

называется обратной квадратной

5.1.2.

матрице

, если выполнены равенства

−1

−1 =

150 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Обратная матрица существует не для произвольной квадратной

матрицы. Для существования матрицы, обратной к

, необходимо

и достаточно, чтобы выполнялось условие det

¹0 6.

Определение

Матрица

, для которой det

= 0 , называется

5.1.3.

вырожденной, а матрица, для которой det

¹ 0 ,

– невырожденной.

Лемма

Если обратная матрица существует, то она единствен-

5.1.1.на.

Доказательство.

Предположим, что невырожденная матрица A имеет две об-

ратные:

−1

. Тогда из равенств

−1 =

следует, что

−1 -

−1 =

−1

Умножая слева обе части данного равенства на

, полу-

чаем

−1

−1 ) =

−1

и, учтя, что

, приходим к равенству

−1

−1 =

Лемма доказана.

6 Правило нахождения определителя квадратной матрицы порядка n приво- дится в главе 6.

Глава 5 . Преобразования плоскости

151

частном

случае,

когда

a11

a12

и если

a21

a2 2

det

¹ 0 , матрица

−1

имеет вид

−1

a22

- a12

(5.1.1)

det

- a21

a11

Для квадратных матриц порядка

n справедливы7 следующие ра-

венства:

det (

) = det (

) det (

) ;

det

−1=

, если det

¹ 0 .

det

Пример

Используя матричные операции, систему линейных урав-

5.1.2.нений

a11x1 + a12 x2 = b1 ,a21x1 + a22 x2 = b2

можно записать в виде

, где

;

a11

a12

a21

a22

(если

−1

а ее

решение

существует

) –

в виде

−1

Пример Формулы перехода от одной декартовой системы коорди-

5.1.3.нат к другой (1.8.2) с помощью матричных операций мо- гут быть записаны в виде

7 Для n = 2 эти соотношения проверяются непосредственно по определе- нию 1.1.9, случай произвольного n рассматривается в главе 6.

152

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

→

g′

ξ′

→

;

ξ′

g′

→

ξ′

g′

где

–

матрица перехода.

Теорема

Имеет место соотношение

5.1.1.

(

)T =

T .

Доказательство.

Будем предполагать, что размеры матриц A и B таковы,

что произведения матриц, указанные в формулировке теоремы, существуют.

Пусть числа αik , βkj , γ i j суть элементы матриц A , B

и C = A B соответственно. Тогда, согласно определе-

нию 5.1.1,

γ ij = ∑αik βkj . k =1

Но, с другой стороны, по определению 1.1.8 операции транс- понирования

l l l

γ iTj = γ j i = ∑α j k βk i = ∑αTk j βiTk = ∑βiTk α Tk j , k =1 k =1 k =1

откуда, учитывая определение 5.1.1, делаем заключение о справедливости утверждения теоремы.

Теорема доказана.

Глава 5 . Преобразования плоскости

153

Заметим,

что согласно правилу транспонирования произведения

→

g1′

→

матриц равенство

′

может быть записано в виде

→

′

→′

→

g 2

Для дальнейших рассуждений нам будет полезно следующее вспо- могательное утверждение.

Лемма

Пусть произведение

квадратной

матрицы

на

5.1.2.

произвольный

n -компонентный

столбец

есть

нулевой

n -компонентный столбец, тогда матрица

нулевая.

Доказательство.

ω11

ω12

...

ω1n

Пусть

ω21

ω22

...

ω2n

. Выберем в качестве

...

... ... ...

ωn1

ωn2

...

ωnn

...

столбец вида

, где единица стоит в строке с номером i.

...

154 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

		0		ω1i		0


		...		...		...
Тогда	Q	1	=	ωii	=	0	и в силу произвольности i при-

		...		...		...
		0		ωni		0

ходим к заключению о справедливости утверждения леммы.

Лемма доказана.

Теорема Для невырожденных

одинакового

размера квадрат-

5.1.2.

ных матриц

справедливо соотношение

(

) −1 =

−1

−1 .

Доказательство.

1°. Пусть произведение матрицы ( A B ) −1 на некото-

рый n-компонентный столбец x есть столбец c . То-

гда

(

) −1

или, что то же самое,

(см. определения 5.1.1 и 5.1.2).

2°. С другой стороны, из последнего равенства получаем, что

−1

и аналогично

−

−1

3°. Вычитая почленно равенства

−1

(

) −1

Глава 5 . Преобразования плоскости

155

в силу дистрибутивности матричного произведения при-

ходим к соотношению

( (

) −1 −

−1

−1 )

которое по лемме 5.1.2 ввиду произвольности

столбца

означает, что матрица

(

) −1 −

−1

нулевая.

Теорема доказана.

Задача

Проверить тождество (

−1 )T = (

T )−1 .

5.1.1.

Определение Невырожденная квадратная матрица Q , для кото-

5.1.4.рой Q −1 = Q T , называется ортогональной.

Свойства ортогональных матриц, играющих важную роль во мно- гих приложениях, можно сформулировать в виде следующих теорем.

Теорема

Для ортогональной матрицы

справедливо равен-

5.1.3.

ство det

= ±1 .

Доказательство.

−1 =

Умножая равенство

последовательно справа и

слева на

, в силу определения 5.1.2 приходим к соотноше-

нию

T =

. Откуда находим, что

det2

= 1 , поскольку

156Аналитическая геометрия и линейная алгебра

-определитель произведения квадратных матриц одинакового размера равен произведению опреде- лителей сомножителей;

-определитель матрицы не меняется при ее транс- понировании;

-det E = 1.

Теорема доказана.

Теорема Каждая ортогональная матрица второго порядка

5.1.4.

= 1, может быть представлена в

для которой det

виде

cos ϕ

− sin ϕ

, где ϕ – некоторое число,

а ка-

sin ϕ

cos ϕ

ждая ортогональная матрица с det

= −1 –

в виде

cos ϕ

sin ϕ

− cos ϕ

Доказательство.

ω11

ω12

ортогональная,

Пусть матрица

тогда

должны быть справедливы равенства

Q Q

= E

ω11

ω12

ω11

ω21

и, следовательно,

ω2

+ ω2

ω ω

+ ω ω

1 0

ω ω

+ ω ω

ω2

+ ω2

0 1

Глава 5 . Преобразования плоскости

157

Последнее матричное равенство может быть записано в виде системы скалярных условий

ω112 + ω122 = 1 ,ω11ω21 + ω12ω22 = 0 ,ω221 + ω222 = 1 ,

причем из этих равенств, как было показано при доказательстве теоремы 5.1.3, следует, что det Q = ±1 . Рассмотрим вначале

случай det Q = 1.

Если из суммы первого и третьего уравнений системы вычесть удвоенное равенство ω11ω22 − ω12 ω21 = 1, то мы получим

(ω112 + ω122 ) + (ω221 + ω222 ) − 2(ω11ω22 − ω12 ω21 ) = 0

или (ω	− ω	22	)2 + (ω			+ ω			21	)2	= 0 , откуда следует, что
11		22		12					21
					ω11 = ω22 ,
					ω				= −ω			21	.
							12					21
Наконец,	из	условий			ω2			+ ω2			= 1 ; ω2			+ ω2 = 1 имеем
						11				12			21	22
оценки 0 ≤ ω2			≤ 1 ; 0 ≤ ω2						≤ 1, которые позволяют ввести
		11						21
		ω11		= cos ϕ
обозначения		ω21		= sin ϕ ,					приводящие к					требуемому виду

матрицы Q , поскольку из полученных соотношений также следует, что ω112 + ω221 = 1.

Случай det Q = −1 рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

158	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Следствие Матрица перехода от одного ортонормированного

5.1.1.базиса на плоскости к другому ортогональная.

Доказательство.

В § 1.8 было показано, что S – матрица перехода от одной

ортонормированной системы координат на плоскости к дру- гой − может иметь один из двух следующих видов:

cos ϕ

− sin ϕ

или

cos ϕ

sin ϕ

cos ϕ

sin ϕ

− cos ϕ

где ϕ – угол между первыми базисными векторами. Но тогда

матрица перехода S ортогональная в силу теоремы 5.1.4.

Следствие доказано.

§5.2. Операторы и функционалы. Отображения

ипреобразования плоскости

Вводимое в курсе математического анализа понятие функции (как правила, устанавливающего однозначное соответствие между числом, принадлежащим области определения, и числом, принадлежащим множеству значений) может быть естественным образом обобщено на случай, когда область определения и область значений не являются числовыми множествами.

Определение	ˆ
	Будем говорить, что задан оператор A , действую-

5.2.1.щий на множестве Ω со значениями в множест-

ве Θ , если указано правило, по которому каждому элементу множества Ω поставлен в соответствие единственный элемент из множества Θ .

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб14МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб2Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб3Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб23МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб39МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
03.06.20153.67 Mб20Наноолимпиада физика.pdf
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб11Национальный манифест.pdf
#
27.03.20162.89 Mб33Начало работы с Oracle 11g Express Edition.pdf
#
03.06.2015941.75 Кб46НЛП Манипуляции основное.pdf