Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 3 . Прямая и плоскость			89
Доказательство необходимости.		существует λ > 0 такое, что
Доказательство необходимости.
Пусть	M Î P+ , то есть
→	→	→ →	L ,
M M = λ n . Оценим величину (n, R) . Поскольку M			L ,

→→

то (n,OM ) = d , и тогда

→ → → →	→	→ →	→	→
(n, R) = (n, OM	+ M M ) = (n, OM		) + (n, M	M ) =

→→

=d + l(n, n) > d

всилу положительности λ .

Доказательство достаточности.

→ →		→	→	→ →	) = d
Пусть (n, R) > d	и	M M = l n , тогда из (n,OM			) = d
получаем	→		→
→ → →	→		→
(n, R) = (n, OM		+ M M ) =

→→ → → → →

=(n, OM ) + (n, M M ) = d + l(n, n) > d.

→→

Ав силу n ¹ o следует, что λ > 0 и, значит, M Î P+ .

Теорема доказана.

→ →

Задача

3.2.1.

Дана система координат {O, g1 , g2 } на плоскости и

→ → →

прямая L с уравнением (n, r - r0 ) = 0 . Найти рас-

стояние до этой прямой от точки, радиус-вектор кото- рой

→	=	x1
r1	=	y1	.
		y1

90	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	→	→	→	→	→
Решение	1°. Пусть MK = λn , тогда r			= r1	+λn (рис. 3.2.4).
		2°.	Точка	K принадлежит дан-
			ной прямой, поэтому имеет
			место		соотношение

	→ →		→		→
	(n, r1	+ λ n		− r0 ) = 0 . Откуда
			→ →		→
	λ = −		(n,r1		− r0 )
							.
				→ 2			.
				→ 2
			\|	n \|
3°.	Подставив				λ	в выражение
		→
	для MK , получим
Рис. 3.2.4	→				→		→	→
Рис. 3.2.4	→				→		→	n
	\| MK \| =			\| (r		− r ,		n	) \|.
	\| MK \| =			\| (r		− r ,			) \|.
					1	0		→

| n |

4°. Пусть система координат ортонормированная. Для уравнения

Ax + By + C = 0,

> 0 , как было

показано, вектор

→

перпендикулярен прямой. Поэтому

→

A(x1 − x0 ) + B( y1 − y0 )

| MK |=

A2 + B2

→

Принимая во внимание, что точка r0				лежит на прямой L и, сле-
довательно, Ax0 + By0	+ C = 0 , можно записать окончательный
ответ в виде		Ax1 + By1 + C
→
→
\| MK \| =					.
\| MK \| =					.
			A2	+ B 2

Глава 3 . Прямая и плоскость	91
Определение Пучком прямых на	плоскости называется совокуп-

3.2.3.ность всех прямых, проходящих через некоторую заданную точку, именуемую вершиной пучка.

Теорема Пусть точка, общая для всех прямых пучка, является

3.2.2.точкой пересечения непараллельных прямых

A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 .

Тогда

1)для любой прямой пучка найдется пара не рав- ных нулю одновременно чисел α и β , таких, что

α( A1 x + B1 y + C1 ) + β( A2 x + B2 y + C2 ) = 0

есть уравнение данной прямой,

2)при любых, не равных нулю одновременно α и

β, уравнение

α( A1 x + B1 y + C1 ) + β( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 есть

уравнение некоторой прямой данного пучка.

Доказательство.

									→			x
1°. Возьмем некоторую точку									r =			x	,	не совпадающую с
												y
												y
вершиной пучка, и примем в качестве параметров
α = A x	+ B	2	y + C			2		, и β = −( A x + B y										+ C ) .
2		2				2							1		1			1
																		→
Заметим при этом,			что		α			+		β		> 0 , поскольку точка r
Заметим при этом,			что		α			+		β		> 0 , поскольку точка r
не принадлежит данным прямым одновременно. Кроме то-
го, прямая
( A x + B			2	y + C			2		)( A x + B y + C ) −
2			2				2				1		1		1
− ( A x + B y + C )( A x + B														2	y + C	2	) = 0
1				1					1		2			2		2

→

проходит как через точку r , так и через вершину пучка и,

следовательно, принадлежит пучку.

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

2°. Пусть A1 x + B1 y + C1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 = 0 – пара

пересекающихся прямых из рассматриваемого пучка, тогда

очевидно, что

a( A1 x + B1 y + C1 ) + b( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 .

При этом уравнение

(aA1 + bA2 )x + (aB1 + bB2 ) y + (aC1 + bC2 ) = 0

является уравнением прямой, поскольку из

> 0 ,

> 0 и

> 0

следует, что

aA1 + bA2

aB1 + bB2

> 0 .

Действительно, допустим противное:

A a + A b = 0,

(3.2.1)

B1a + B2b = 0.

Прямые

A1x + B1 y + C1 = 0 и

A2 x + B2 y + C2 = 0 по по-

строению имеют, по крайней мер, одну общую точку. Поэтому

они либо совпадают, либо пересекаются. По теореме 3.1.4 они

совпадают тогда и только тогда,

когда существует l ¹ 0 , для

которого

A1 = lA2 и B1 = lB2 . А последние два равенства

по теореме 1.6.2 равносильны условию det

= 0.

В рассматриваемом случае прямые пересекаются, поэтому

det

¹ 0

и в силу теоремы 1.1.2 система линейных уравнений 3.2.1 мо- жет иметь лишь единственное решение. С другой стороны, очевидно, что эта система имеет тривиальное решение a = b = 0 , что в совокупности противоречит неравенству

a + b > 0 .

Глава 3 . Прямая и плоскость

Следовательно,

αA1 + βA2 + αB1 + βB2 > 0.

Теорема доказана.

Определение

3.2.4.

Уравнение

α( A1 x + B1 y + C1 ) + β( A2 x + B2 y + C2 ) = 0

снеравными одновременно нулю параметрами α и

βназывается уравнением пучка прямых на плоско-

сти.

§ 3.3. Плоскость в пространстве

→ → →

Пусть даны система координат {O, g1 , g2 , g3} в пространстве и

→

плоскость S , проходящая через точку с радиусом-вектором r0 и ле-

→ →

жащими на S неколлинеарными векторами p и q .

			→	→
Определение			Векторы p и	q	называются направляющими век-
3.3.1.			торами плоскости S .
			торами плоскости S .

Теорема Множество радиусов-векторов						точек плоскости				S
3.3.1.				→	→	→	→
	представимо в виде r				= r0 + ϕ p + θ q , где			ϕ и		θ –
	произвольные вещественные параметры.
	Доказательство.							→	→
	Доказательство.
	→
	Пусть r	– некоторая точка плоскости S . Векторы						p ,	q	об-
	разуют базис на S , и лежащий на этой плоскости (рис. 3.3.1)
	→		→
	вектор r	− r0 может быть единственным образом представлен

94			Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	как линейная комбина-
	как линейная комбина-
			→	→
	ция векторов p и q
	→	→	→	→
	r	− r0	= ϕ p + θ q,

и, следовательно, урав- нение плоскости будет иметь вид

→	→	→ →
r	= r0	+ ϕ p+ θ q,
где	ϕ (−∞, + ∞)		и
θ (−∞, + ∞).
Теорема доказана.			Рис. 3.3.1

Найдем теперь координатное представление множества радиусов-

векторов всех точек плоскости S. Пусть

→

q y

, тогда будут справедливы следующие теоремы.

Теорема

Всякая плоскость в любой декартовой системе коор-

3.3.2.динат может быть задана уравнением вида

Ax + By + Cz + D = 0 ,	A	+	B	+	C	> 0 .
Доказательство.			→	→
→	→		→	→
Условие компланарности векторов r	− r0 ,		p	и q в коорди-

натной форме имеет в силу теоремы 1.6.3 вид

Глава 3 . Прямая и плоскость

det

x − x0

y − y0

z − z0

= 0.

p y

q y

Откуда

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ,

или оконча-

тельно

Ax + By + Cz + D = 0, где числа

A ,

B и C нахо-

дятся по теореме 1.1.1 и равны соответственно

A = det

p y

; B = − det

;

q y

C = det

p y

q y

а D = − Ax0 − By0 − Cz0 , и, таким образом, мы получили, что уравнение плоскости есть уравнение первой степени. Условие невозможности одновременного равенства нулю чисел A , B и

→

C вытекает из неколлинеарности векторов p и

q и следст-

вия 2.5.1.

Теорема доказана.

Теорема Всякое

уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 ,

3.3.3.

> 0 в любой декартовой системе ко-

ординат есть уравнение некоторой плоскости.

Доказательство.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнение

Ax + By + Cz + D = 0 , A + B + C > 0

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

при C ¹ 0 может быть записано как

x +

y +

z +

+ B 2 + C 2

A2 + B 2 + C 2

det

− C

= 0,

− A

а при C = 0 в виде

x +

y +

z + 0

+ B 2

det

− B

= 0,

→

ибо в любой ДСК в качестве векторов

p и q можно выбрать

→

− C

¹ 0 , и, если C = 0 ,

при C

− A

то

− B

→

Очевидно, что оба эти уравнения определяют плоскость, про- ходящую через некоторую заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам.

Теорема доказана.

Глава 3 . Прямая и плоскость

→ → →

Задача В системе координат {O, g1 , g2 , g3 } составить урав-

3.3.1.нение плоскости, проходящей через три заданные, попар- но несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки:

→	=	x1	→	=	x2	→	=	x3
r1	=	y1	; r2	=	y2	; r3	=	y3	.
		z1			z2			z3

Решение. Из условия задачи следует, что неколлинеарные векторы

→	→	→	→
r2 − r1		и r3	− r1	параллельны искомой плоскости. Кроме
того,	для радиуса-вектора					любой принадлежащей этой
				→		→	→
плоскости точки				r	вектор	r	− r1	также будет ей парал-
лелен.
Из условия компланарности тройки векторов
				→	→ →	→		→	→
			{ r		− r1 , r2	− r1 и r3			− r1}

получаем уравнение искомой плоскости, которое будет иметь вид

→	→ →	→ →	→
( r	− r1 , r2	− r1 , r3	− r1 ) = 0 ,

Задача

3.3.2.

или в координатной форме (согласно § 2.7)

	x − x1	y − y1	z − z1
	x − x1	y − y1	z − z1
det	x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1	= 0.
	x3 − x1	y3 − y1	z3 − z1
		→ →	→

В системе координат {O, g1 , g2 , g3 } составить урав-

нение

плоскости, проходящей через заданную точку

→

r0 =

перпендикулярно ненулевому век-

→

тору n =

98	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
			→
Решение.	По условию задачи для радиуса-вектора		r	любой точки,
			→	→	→
	принадлежащей этой плоскости, векторы		r	− r0 и	n	бу-
	→	→ →
	дут ортогональны, т.е. ( r − r0 , n) = 0 .			→ →		→
				→ →		→
	В ортонормированной системе координат {O, e1 , e2 , e3}
	это условие принимает вид
	nx (x − x0 ) + ny ( y − y0 ) + nz (z − z0 ) = 0
	или, обозначив A = nx ;	B = n y ; C = nz		и соответст-
	венно D = −nx x0 − ny y0	− nz z0 , получим

Ax + By + Cz + D = 0 .

Следствие

3.3.1.

Определение

3.3.2.

Определение

3.3.3.

Если плоскость задана в ортонормированной сис-

→→ →

теме координат {O, e1 , e2 , e3} уравнением

Ax + By + Cz + D = 0, где A + B + C > 0,

→		A
→	=
то вектор n	=	B	ортогонален этой плоскости.
		C

→

Вектор n называется нормальным вектором плоско-

→		→ →
сти ( r	− r0 , n) = 0 .

Вектор		A B C	T	называется главным векто-
Вектор		A B C	T	называется главным векто-

ром плоскости

Ax + By + Cz + D = 0, A + B + C > 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 5510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб14МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб2Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб3Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб23МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб39МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
03.06.20153.67 Mб20Наноолимпиада физика.pdf
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб11Национальный манифест.pdf
#
27.03.20162.89 Mб33Начало работы с Oracle 11g Express Edition.pdf
#
03.06.2015941.75 Кб46НЛП Манипуляции основное.pdf