МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

задается системой условий (см. пример 4.3.1):

Заметим, что если из полученных соотношений исключить также и

то есть N = 2 .

§ 4.4. Линии второго порядка на плоскости

Пусть на плоскости дана ортонормированная система координат

→→

{O, e1 , e2 } и некоторая линия L .

Определение В соответствии с определениями 4.1.2 и 4.1.3 будем

4.4.1.говорить, что линия L является алгебраической лини- ей второго порядка, если ее уравнение в данной сис- теме координат может иметь вид

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (4.4.1)

где числа A , B и C не равны нулю одновременно, а x и y суть координаты радиуса-вектора точки, при-

надлежащей L .

Поскольку коэффициенты уравнения 4.4.1 зависят от выбора сис- темы координат, при исследовании свойств линий второго порядка целесообразно предварительно перейти к другой ортонормированной

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 131

4.4.1.тонормированная система координат, в которой

Доказательство.

1°. Предварительно заметим, что без ограничения общности мож- но считать выполненными условия: B ³ 0 и A ³ C . Действительно, если B < 0 , то можно изменить знаки всех ко- эффициентов в уравнении 4.4.1. Если же A < C , то, перейдя к новой ортонормированной системе координат, для которой

B > 0 , то выбираем новую ортонормированную систему коор-

часовой стрелки вокруг точки O на угол 0 < α ≤ π / 4, такой,

чтобы коэффициент при произведении x ′y ′ оказался равным

нулю. Выведем правило выбора этого угла. Рассмотрим пово-

рот (см. § 1.8):

иметь вид

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 133

x = x′ cos a - y′sin a,

= ¢ a + ¢ a

y x sin y cos .

Подставляя выражения “ старых” координат через “ новые”, по- лучаем уравнение 4.4.1 в виде

A(x¢cos a - y¢sin a)2 +

+2B(x¢cos a - y¢sin a)(x¢sin a + y¢cos a) +

+C(x¢sin a + y¢cos a)2 + 2D(x¢cos a - y¢sin a) +

+2E(x¢sin a + y¢cos a) + F = 0,

или же

A¢x ¢2 + 2B ¢x ¢y ¢ + C ¢y ¢2 + 2D¢x ¢ + 2E ¢y ¢ + F ¢ = 0 .

Откуда находим, что

A¢ = A cos 2 a + 2B cos asin a + C sin 2 a, 2B¢ = -2 Asin a cos a + 2B cos 2 a -

- 2B sin 2 a + 2C sin a cos a,

C¢ = Asin 2 a - 2B sin a cos a + C cos 2 a .

Из условия B′ = 0 следует, что

2B cos 2α − ( A − C) sin 2α = 0,

и окончательно

метим, что угол α также может быть найден из равносильного уравнения

tg 2 a + A − C tg a -1 = 0, B ¹ 0,

B

ибо если B = 0 , то поворота не требуется.

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 135

то есть величина не меняется при выполняемой замене сис-

темы координат. Также очевидно, что при этом и

A′ + C′ = A + C .

4°. В дальнейших рассуждениях будем полагать, что B = 0 , и рас-

смотрим отдельно случаи D ¹ 0 и D = 0 для уравнения вида

Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 .

Пусть D ¹ 0 . Это означает, что A ¹ 0 и C ¹ 0 и уравнение линии может быть переписано в виде

и мы приходим, таким образом, к одному из шести следующих уравнений:

Первые пять из этих случаев содержатся в формулировке тео- ремы (табл. 4.4.1), а шестой сводится к пятому умножением

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 137

Первый из этих случаев указан в формулировке теоремы (табл. 4.4.1), а второй сводится к первому заменой координат:

Теорема доказана.

Замечания. 1°. В теореме 4.1.1 было показано, что порядок алгеб- раической линии, в том числе и для рассматривае- мых в теореме 4.4.1 случаев, не меняется при заме- не системы координат.

2°. Из доказательства теоремы также следует, что по- ворот и параллельный перенос ортонормированной системы координат не допускают перемещения уравнения линии второго порядка из одной строки таблицы, приведенной в формулировке теоремы 4.4.1, в другую. Более того, в дальнейшем будет показано (см. § 5.4), что никакой заменой общей декартовой системы координат нельзя перемес-

тить линию второго порядка, находящуюся в одной из клеток таблицы в условии теоремы 4.4.1, в дру- гую клетку.

3°. Пустое множество эллиптического типа иногда называют мнимым эллипсом, а пустое множество параболического типа – парой мнимых параллель- ных прямых.