МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544
.pdfГлава 2 . Произведения векторов |
59 |
§2.3. Выражение скалярного произведения
вкоординатах
|
|
→ |
|
→ → |
|
|
→ |
→ |
|
|
|
Пусть задан базис {g1 , g2 , g3} и два вектора a и b, |
координат- |
||||||||||
ные разложения которых в этом базисе имеют вид |
|
|
|
|
|||||||
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
|
a = x1 g1 + x2 g 2 + x3 g3 и b = h1 g1 + h2 g 2 |
+ h3 g3 . |
|
|||||||||
По свойствам 3° и 4° скалярного произведения |
|
|
|
|
|
||||||
→ → |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
(a, b) = ( x1 g1 + x2 g 2 |
+ x3 g3 , |
h1 g1 + h2 g 2 + h3 g3 ) |
= |
|
|||||||
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
= x1h1 (g1 , g1 ) + x1h2 (g1 , g 2 ) + x1h3 (g1 , g3 ) + |
|
|
|||||||||
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
+ x |
2 h1 (g 2 , g1 ) |
+ x2 h2 (g 2 , g 2 ) |
+ x2 h3 (g 2 , g3 ) + |
|
|||||||
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
+ x |
3h1 (g3 , g1 ) |
+ x3h2 (g3 , g 2 ) |
+ x |
3h3 (g3 , g3 ) = |
|
|
|||||
3 |
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
→ |
→ |
|
|
= ∑( x j h1 (g j , g1 ) + x j h2 (g j , g 2 ) + x j h3 (g j , g3 ) ) |
= |
||||||||||
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
=∑∑x j hi (g j , gi ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
j =1 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ |
|
|
|
|
|
В случае ортонормированного базиса {e1 , e2 , e3 } эта формула упро-
щается, поскольку для попарных скалярных произведений базисных векторов справедливо равенство
→ → |
1, i = j, |
(ei , e j ) = dij |
= |
|
0, i ¹ j , |
где dij – так называемый символ Кронекера. Откуда для скалярного
произведения векторов в ортонормированном базисе получаем фор- мулу
→ →
(a, b) = x 1h1 + x 2 h 2 + x 3h 3 ,
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
||||||||||||||||||||||||
из которой следуют полезные соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x12 + x22 + x32 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и для a |
¹ o и b ¹ o |
|
|
|
ξ 1η1 + ξ 2 η 2 + ξ 3η 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos j = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ x2 + x |
2 |
|
h2 |
+ h2 |
+ h2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Отметим, |
что |
последнее |
равенство |
в сочетании |
с |
условием |
||||||||||||||||||||||||||||
|
cos j |
|
£1 приводит к неравенству Коши– Буняковского: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ξi ; ηi |
, i = [1, 3] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
1 |
h |
1 |
+ x |
2 |
h |
2 |
+ x |
3 |
h |
3 |
|
£ x2 |
+ x2 |
+ x2 |
|
h2 + h2 |
+ h2 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
||||||||||||
Задача |
|
|
|
|
Найти расстояние между двумя точками в ортонорми- |
||||||||||||||||||||||||||||||
2.3.1.рованной системе координат, если известны радиусы- векторы этих точек.
Решение. Пусть задана |
ортонормированная система координат |
||||||||||
→ → → |
→ |
|
x1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
= |
x2 |
|
|
|
|
||||||
{O, e1 , e2 , e3} |
и радиусы-векторы точек OM 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
→ |
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и OM1 = |
|
h2 |
|
|
в ней. Тогда, используя решение задачи |
||||||
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.1, из равенства
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
M 1M 2 |
= (x1 - h1 ) e1 |
+ (x2 |
- h2 ) e2 |
+ (x3 |
- h3 ) e3 |
и свойств скалярного произведения получаем
→
| M1M 2 | = 
(x1 - h1 )2 + (x2 - h2 )2 + (x3 - h3 )2 .
Глава 2 . Произведения векторов |
61 |
§2.4. Векторное произведение векторов
иего свойства
Определение |
Упорядоченная |
тройка |
некомпланарных |
векторов |
2.4.1. |
→ → → |
|
|
|
|
{a, b, c} называется правой, если (после совмеще- |
|||
|
|
|
|
→ |
|
ния их начал) кратчайший поворот от вектора a к |
|||
|
→ |
|
→ |
|
|
вектору b виден из конца вектора c |
совершаю- |
||
|
щимся против часовой стрелки. В противном случае |
|||
|
упорядоченная |
тройка |
некомпланарных |
векторов |
|
→ → → |
|
|
|
{a, b, c} называется левой.
Определение Векторным произведением неколлинеарных векторов
2.4.2. |
→ → |
|
|
→ |
|
|
a и b называется вектор c, такой, что |
|
|||
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
1) |
| c | = | a | | b | sin ϕ , где ϕ – |
угол меж- |
||
|
|
|
|
→ → |
|
|
|
ду векторами a и b; |
|
||
|
|
|
→ |
|
→ |
|
2) |
вектор |
c |
ортогонален вектору |
a и век- |
→
тору b ;
→ → →
3)тройка векторов {a, b, c} правая.
Вслучае, когда сомножители коллинеарны (в том числе, когда хотя бы один из сомножителей есть ну- левой вектор), векторное произведение считается равным нулевому вектору.
→ |
→ |
Векторное произведение векторов a |
и b обозначается как |
→ → |
|
[ a , b ] . Из определения 2.4.2 следует, что |
|
62Аналитическая геометрия и линейная алгебра
→→
1)[a, b] есть площадь параллелограмма, построенного на
→→
векторах a и b ;
→ →
2)для коллинеарности ненулевых векторов a и b необхо- димо и достаточно, чтобы их векторное произведение бы- ло равно нулевому вектору.
Свойства векторного произведения
1°. |
→ → |
→ → |
|
|
[a, b] = − [b, a] (антикоммутативность, следует из оп- |
||||
|
ределения 2.4.2 и нечетности функции sin ϕ ). |
|||
2°. |
|
→ → |
→ → |
|
[λ a, b] = λ [a, b] |
(следует из определения векторного |
|||
|
|
|
|
→ → |
|
произведения и того факта, что векторы [λ a, b] и |
|||
|
→ → |
|
|
|
|
[a, b] ортогональны одной и той же плоскости при не- |
|||
|
|
|
→ |
→ |
|
коллинеарных a и b и l ¹ 0 ). |
|||
3°. |
→ |
→ → |
→ → |
→ → |
[a |
+ b, c] = [a, c] |
+ [b, c] (дистрибутивность). |
||
Для доказательства дистрибутивности векторного произведения воспользуемся следующими вспомогательными утверждениями.
|
→ |
→ |
|
|
Лемма |
Пусть даны два вектора a |
и b , начала которых на- |
||
2.4.1. |
|
|
→ |
|
|
ходятся в общей точке на оси с базисом l |
. Тогда ре- |
||
|
|
→ |
→ |
|
|
зультат поворота суммы векторов a |
и b |
на угол ϕ |
|
→
вокруг оси l равен сумме результатов поворота каж-
→
дого из этих векторов вокруг оси l на угол ϕ .
|
Глава 2 . Произведения векторов |
|
63 |
||||
|
Утверждение леммы 2.4.1 будем обозначать как |
|
|||||
|
|
||||||
|
Λ |
→ |
→ |
Λ |
→ |
Λ |
→ |
|
|||||||
|
Повϕ,→l |
(a |
+ b) = Повϕ,→l |
(a) + Повϕ,→l |
(b). |
||
Справедливость этого утверждения ясна из рис. 2.4.1.
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.4.1 |
|
|
|
|
→ |
|
→ → |
→ → |
|
|
|
|
||||
Лемма |
Если |
|
|
e |
|
= 1 и p ¹ o , то вектор |
[ p, e ] равен ре- |
2.4.2. |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зультату поворота проекции вектора |
p на плоскость, |
|||||
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
перпендикулярную вектору e , вокруг вектора e на |
||||||
|
|
π |
|
|
|
||
|
угол |
|
|
по часовой стрелке. |
|
||
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство.
Проведем две плоскости, одна из которых проходит через точку
|
→ |
→ |
→ |
O – общее начало векторов |
p |
и e , перпендикулярно e , а |
|
|
→ |
→ |
|
вторая проходит через векторы |
p и e . |
|
|
|
|
→ |
|
Ортогональная проекция вектора |
p на плоскость, перпендику- |
||
→
лярную e, будет лежать на линии пересечения построенных
плоскостей, и тогда из определения векторного произведения следует (рис. 2.4.2):
64 |
|
|
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
→ → |
|
= |
|
→ |
|
|
→ |
|
sin α |
|
= |
|
→ |
|
cos ( π − α) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
[ p, e ] |
|
|
p |
|
|
e |
|
|
|
p |
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
поскольку |
|
e |
|
|
Следовательно, |
в рассматриваемом случае |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
→ → |
|
Λ |
|
|
|
|
Λ |
|
|
|
→ |
|
Λ |
|
→ |
||||||||
|
[ p, e] = Пов |
π |
→ (Pr |
|
→ p) , где |
Pr |
|
→ ( p) обозначает ортого- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, e |
|
|
e |
|
|
e |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
→ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нальное проектирование вектора |
|
p |
|
на плоскость, перпендику- |
|||||||||||||||||||
→
лярную вектору e .
Рис. 2.4.2
Лемма доказана.
Докажем теперь дистрибутивность векторного произведения.
Доказательство свойства 3°.
→ |
→ |
→ |
→ |
Если c |
= o , то свойство 3° очевидно. Пусть |
c |
¹ o , тогда в |
силу утверждений лемм 2.4.1, 2.4.2 и свойства 1.1° из § 2.1 сле- дует
|
|
|
Глава 2 . Произведения векторов |
|
|
|
|
|
65 |
|||||||||||
|
|
|
→ → → → → → |
|
|
|
→ |
|
→ Λ |
|
Λ → → |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
[a |
+ b, c ] = | c | [a+ b, |
|
] = | c |Пов π → (Pr → (a + b)) = |
||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
c | |
|
|
|
|
, c |
c |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
→ |
Λ |
|
|
|
|
|
Λ |
→ |
|
Λ |
→ |
|
|
|||
|
|
|
|
= | c | Пов π |
→ |
(Pr |
→ a + Pr |
→ b) = |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
, c |
|
|
c |
|
|
c |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
→ |
Λ |
|
|
|
|
|
Λ |
→ |
|
|
Λ |
Λ |
→ |
|||
|
|
|
|
= | c | (Пов π → (Pr → a) |
+ Пов π → (Pr |
→ b)) = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, c |
c |
|
|
|
, c |
c |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
→ |
|
|
→ → |
|
→ → |
|||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= | c | ( [ a, |
|
|
] + [b, |
|
] ) = [a, c] + [b, c]. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
c | |
|
| c | |
|
|
|
||||||||
Свойство доказано.
§2.5. Выражение векторного произведения
вкоординатах
→→ →
Пусть задан правый базис {g1 , g 2 , g3 } (то есть такой, что векто-
→→ →
ры g1 , g2 , g3 образуют правую тройку) и пусть в этом базисе векто-
→→
ры a и b имеют координатные разложения
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
a |
= ξ1 g1 + ξ2 g 2 + ξ3 g3 |
и b |
= η1 g1 + η2 g 2 |
+ η3 g3 . |
|||
По свойствам 2° и 3° векторного произведения |
|
|
|||||
→ → |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
[a, b ] = [ ξ1 g1 + ξ |
2 g 2 |
+ ξ3 g3 , |
η1 g1 + η2 g 2 |
+ η3 g3 ] = |
|||
|
→ → |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
= ξ1η1[g1 , g1 ] + ξ1η2 [g1 , g 2 ] + ξ1η3[g1 , g3 ] + |
|
||||||
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ → |
|
+ ξ2 η1[g 2 , g1 ] + ξ2η2 [g2 , g 2 ] |
+ ξ2 η3[g 2 , g3 ] |
+ |
|||||
66 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
|||
|
→ |
→ |
→ → |
→ → |
+ ξ3η1[g3 , g1 ] + ξ3 |
η2 [g3 , g2 ] + ξ3 |
η3[g3 , g3 ] = |
||
3 |
3 |
→ → |
|
|
=∑∑ξ j ηi [g j , gi ]. |
|
|||
j=1 i=1
→→ →
Обозначим через f1 , f2 и f 3 попарные векторные произведения
→→
базисных векторов [ gi , g j |
] следующим образом: |
|||
→ |
→ → |
→ |
→ → → |
→ → |
f1 |
= [g 2 , g3 ] ; f 2 |
= [g3 , g1 ] ; f3 = [g1 , g 2 ]. |
||
|
|
|
|
→ → |
Подставив эти обозначения в выражение для |
[a, b] и использовав |
|||
формулу, связывающую определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков (см. теорему 1.1.1), получим
→ → |
|
|
|
→ |
− (ξ1η3 |
|
|
|
→ |
+ (ξ1η2 |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
||||
[a, b] = (ξ 2 |
η3 − ξ3η2 ) f1 |
− ξ3η1 ) f 2 |
− ξ |
2 η1 ) f3 |
= |
|||||||||||||||||
|
ξ2 |
ξ3 |
|
→ |
|
|
|
ξ1 |
ξ3 |
|
→ |
|
|
ξ1 |
ξ2 |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= det |
|
f1 − det |
|
f 2 |
+ det |
|
|
|
|
f3 |
= |
|
||||||||||
|
η2 |
η3 |
|
|
|
|
|
η1 |
η3 |
|
|
|
|
η1 |
η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f1 |
f 2 |
f |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= det |
ξ1 |
ξ2 |
ξ |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
η1 |
η2 |
η3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай ортонормированного базиса
→ → →
Пусть исходный базис {e1 , e2 , e3} ортонормированный, обра-
зующий правую тройку векторов, тогда по определению 2.4.2
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
f1 |
= e1 , |
f 2 |
= e2 , |
f 3 |
= e3 . |
Глава 2 . Произведения векторов |
67 |
Тогда формула для векторного произведения векторов в правом орто- нормированном базисе упростится:
|
→ |
→ |
→ |
|
→ → |
e1 |
e2 |
e3 |
|
[a, b] = det |
ξ1 |
ξ2 |
ξ3 |
. |
|
η1 |
η2 |
η3 |
|
|
|
|
|
|
Из вышеприведенных формул вытекают полезные следствия.
→ →
Следствие Для того чтобы векторы a и b были коллинеар-
2.5.1.ны, необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе
|
det |
|
ξ2 |
|
ξ3 |
|
= det |
|
|
ξ1 |
|
ξ3 |
|
= det |
|
|
ξ1 |
ξ2 |
|
|
|
= 0 |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
η |
|
|
η |
|
|
|
|
|
η |
|
η |
|
|
|
|
η |
η |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или же |
|
ξ1 |
= |
|
|
|
|
ξ2 |
= |
|
ξ3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
|
|
|
|
|
|
η |
2 |
|
|
η |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствие |
В ортонормированном базисе площадь параллело- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
грамма, построенного на векторах |
a |
и b, вычис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
S = |
det 2 |
|
|
|
ξ2 |
|
|
|
ξ3 |
|
|
|
|
+ det 2 |
|
ξ1 |
|
ξ3 |
|
|
+ det 2 |
|
ξ1 |
ξ2 |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
η2 |
|
η3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η1 |
η3 |
|
|
|
|
|
η1 |
η2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
причем для случая базиса на плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
det |
|
ξ1 |
ξ2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
η |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
68 |
|
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
|
|||||
|
§ 2.6. Смешанное произведение |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
Определение |
Смешанным (или векторно-скалярным) произведе- |
|
||||||
|
2.6.1. |
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
нием векторов |
a , |
b и |
c, |
обозначаемым как |
|
|
|
|
|
→ → → |
|
|
→ → |
→ |
|
|
|
|
|
(a, b, c ) , называется число ([a, b], c ) . |
|
|||||
|
Теорема |
Абсолютная величина |
смешанного |
произведения |
|
||||
|
2.6.1. |
|
→ → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов (a, b, c ) |
равна объему параллелепипеда, |
|
|||||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
построенного на векторах a , |
b и |
c . При этом если |
|
||||
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
тройка векторов a , b , c некомпланарная и пра- вая, то их смешанное произведение положительно, а если тройка левая, то – отрицательно.
Доказательство.
→ |
→ |
Если a |
коллинеарен b, то утверждение теоремы очевидно. |
→ |
→ |
Пусть a неколлинеарен b, тогда по определению скалярно-
го произведения
→ → → → → →
(a, b, c ) = |[a, b]| Πр → → c ,
[ a , b ]
→→
где S = | [ a, b ] | есть площадь параллелограмма, постро-
→→
енного на векторах a и b , а
→ →
| Пр → → c | = | c | | cos α |
[ a , b ]