МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

Таким образом, аффинное преобразование представимо в ви- де произведения ортогонального преобразования и оператора "сжатия к осям" (см. пример 5.3.1).

Теорема доказана.

§ 5.6. Понятие группы

Определение Множество G называется группой по отношению к

5.6.1.заданной операции, если любым двум его элементам

xи y поставлен в соответствие третий элемент это-

го же множества, называемый произведением и обо- значаемый xy , и если выполняются следующие усло-

вия:

1)x( yz) = (xy)z ;

2)существует элемент e , такой, что

x G xe = ex = x ;

3)для каждого x существует элемент x−1, та-

кой, что

x −1x = e .

Если, кроме того, xy = yx x, y G , то группа называется ком-

мутативной, или абелевой.

Пример К группам относятся, например:

5.6.1. 1) множество вещественных чисел относитель- но операции сложения образует группу, где e – число 0 ;

190Аналитическая геометрия и линейная алгебра

2)множество положительных вещественных чисел относительно операции умножения, где e – число 1;

3)множество поворотов плоскости вокруг фиксированной точки относительно опера- ции композиции;

4)множество аффинных преобразований плос- кости относительно операции композиции.

Глава 6

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 6.1. Определители

Рассмотрим множество, состоящее из натуральных чисел 1, 2, 3, ... , n . Будем обозначать перестановки этих чисел (то есть последовательную их запись в некотором порядке без повторений) как {k1 , k2 , k3 ,..., kn } . Напомним, что полное число таких различных

Поскольку в данном определении указано, что сумма берется по всем возможным различным перестановкам, то число слагаемых рав- но n!.

Из определения 6.1.2 также вытекает, что каждое слагаемое со- держит в качестве сомножителя по одному элементу матрицы из каж- дого столбца и каждой строки.

6.1.1.детерминантов матриц второго и третьего порядков

1.1.9 и 1.1.10.

§ 6.2. Свойства определителей

6.2.1.глядную интерпретацию.

Выделим в матрице A элементы, входящие в неко-

торое слагаемое определения 6.1.2, и соединим их от-

6.2.1.рованное для ее столбцов, справедливо для ее строк, и наоборот.

6.2.2.определителя меняется на противоположный.

Доказательство.

Рассмотрим вначале случай, когда переставляются соседние столбцы. Поскольку общий вид слагаемых в выражении для определителя дается формулой

то достаточно показать, что число беспорядков изменится при перестановке соседних столбцов на единицу.

Рассмотрим перестановку чисел

{k1 , k2 ,...ki , ki+1 , ki+2 ..., kn } .

Если в ней поменять местами числа ki и ki+1, то число беспо- рядков, образуемых числами {k1 , k2 ,...ki−1 , ki+2 ,..., kn }, оста-

нется прежним, а за счет изменения порядка следования чисел ki и ki +1 общее число беспорядков изменится на единицу.

Это означает, что знак каждого слагаемого в формуле опреде- лителя изменится на противоположный и, следовательно, из- менит знак и весь определитель.

Наконец, если требуется поменять местами столбцы, между

6.2.2.вых столбца, равен нулю.

Доказательство.

При перестановке одинаковых столбцов значение определите- ля, с одной стороны, не меняется, но, с другой стороны, это значение должно изменить знак. Поэтому данный определи- тель может равняться только нулю.

Следствие доказано.

Теорема Если k -й столбец матрицы задан в виде линейной

6.2.3комбинации некоторых "новых" столбцов, то ее

6.2.3.можно выносить общий множитель.

Следствие Если к некоторому столбцу матрицы прибавить

6.2.4.линейную комбинацию остальных ее столбцов, то определитель не изменится.

Доказательство.

Действительно, определитель, получившийся в результате дан- ной операции с матрицей, можно (по теореме 6.2.3) предста- вить в виде линейной комбинации исходного определителя и линейной комбинации определителей матриц, имеющих оди- наковые столбцы. Последние равны нулю по следствию 6.2.2.

Следствие доказано.

6.2.4.равен произведению их определителей, то есть

det ( A B ) = det A × det B .

Доказательство.

1°. Обозначим C = A B . Пусть матрицы A , B и C имеют соответственно элементы aij , bkl и γ pq . Тогда

Введем в рассмотрение специальный тип перестановок нату- ральных чисел 1, 2, 3, ... , n , в которых допускаются повто-

рения одинаковых чисел. Такие перестановки условимся обо- значать как [i1 , i2 , i3 ,..., in ] .

По линейному свойству определителя (теорема 6.2.3)