Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 119

Глава 4

НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЪЕКТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 4.1. Линии на плоскости и в пространстве

→ →

Пусть дана система координат {O, g1, g2} на плоскости и число-

вое множество Ω, являющееся промежутком (возможно, бесконеч-

ным).

Определение

4.1.1.

Будем говорить, что линия L на плоскости задана па-

→

раметрически вектор-функцией

r = F (τ) (или в

координатной форме

Fx (τ)

→

Fy (τ)

где Fx (τ),Fy (τ) – непрерывные,

скалярные функции

аргумента τ , определенные для τ Ω ), если

τ Ω точка

→

1) для любого

= F (τ) ле-

жит на L;

→

2)для любой точки r0 , лежащей на L, су-

ществует τ0 Ω , такое, что выполнено

→ →

равенство r0 = F (τ 0 ) .

120	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Иногда линия на плоскости задается в виде уравнения

G(x, y) = 0 , которое получается исключением параметра τ

из сис-

x = Fx (τ)

τ Ω .

темы уравнений y = Fy (τ) ,

Пример

1°. Прямая

линия

задается

вектор-функцией

4.1.1.

→

r = r0 + τ a ,

где a –

направляющий вектор,

а r0 –

одна из точек данной прямой. Скалярная форма зада-

ния прямой в этом случае имеет вид

x = x0 + τax ,

τ (−∞,+ ∞) ,

y = y0 + τa y ,

Fx (τ) = x0 + τax ,

τ (−∞, + ∞) ,

то есть

Fy (τ) = y0

+ τa y ,

или

Ax + By + C = 0 ,

> 0 , где

G(x, y) = Ax + By + C

2°. В декартовой ортонормированной системе коорди-

нат окружность радиуса R с центром в точке

x0 y0

в параметрическом виде может быть задана как

x = x0	+ R cos τ,	τ [0,2π) , то есть
y = y0	+ R sin τ,
Fx (τ) = x0		+ R cos τ,	τ [0,2π) ,
Fy (τ) = y0		+ R sin τ,

или же уравнением

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2 ,

где G(x, y) = (x − x0 ) 2 + ( y − y0 )2 − R 2 .

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 121

Определение

4.1.2.

Определение

4.1.3.

Пример

4.1.2 (алгебраиче-

ские линии).

Линия называется алгебраической, если ее уравнение в декартовой системе координат имеет вид

m
∑ak x pk y qk = 0 , где pk	и qk – целые неотрица-
k =0
тельные числа, а числа ak	не равны нулю одновре-
менно.

Число N = max {pk + qk } называется порядком

k =[0,m]

алгебраического уравнения, указанного в определе-

нии 4.1.2, где максимум находится по всем k , для которых ak ¹ 0 . Наименьший из порядков алгеб-

раических уравнений, задающих данную алгебраиче-

скую линию, называется порядком алгебраической линии.

Прямая	x + 3y + 2 = 0	(N = 1)
Квадратная пара-	y - x 2 = 0	(N = 2)
бола
Гипербола	xy − 1 = 0	(N = 2)
“ Декартов лист”	x 3 + y 3 - xy = 0	(N = 3)

Теорема Порядок алгебраической линии не зависит от выбора

4.1.1.системы координат.

Доказательство.

Пусть алгебраическая линия L имеет в системе координат

→→

{O, g1 , g2 } уравнение G(x, y) = 0 и порядок N . Перейдем

→→

ксистеме координат {O, g1¢, g2¢} . Формулы перехода, соглас-

но соотношениям (1.8.2), имеют вид

122 Аналитическая геометрия и линейная алгебра

x = s11 x¢ + s12 y¢ + b1,y = s21x¢ + s22 y¢ + b2 ,

поэтому уравнение линии L в “ новой” системе координат бу- дет

G(s11 x′ + s12 y′ + b1 , s21 x′ + s22 y′ + b2 ) = 0.

Отсюда следует в силу определения 4.1.2, что N ³ N ′ , то есть при переходе к “ новой” системе координат порядок алгебраи- ческой кривой не может повыситься. Применяя аналогичные рассуждения для обратного перехода от системы координат

→	→		→	→	получим N £ N ′ и
{O, g1¢, g2¢} к системе			{O, g1 , g2 } ,		получим N £ N ′ и
окончательно N = N ′ .
Теорема доказана.
Замечание:	фигуры на плоскости можно задавать, используя ог-
	раничения типа неравенств.
Пример 1°.	В ортонормированной системе координат набор ус-
4.1.4.		x ³ 0,
		y	³ 0,
	ловий	y	³ 0,	задает	прямоугольный рав-

x + y - 3 £ 0

нобедренный треугольник, катеты которого лежат на осях координат и имеют длины 3.

2°. В ортонормированной системе координат неравенст-

во вида x 2 + y 2 - 4 £ 0 определяет круг радиуса 2

с центром в начале координат.

Рассмотрим теперь случай линии в пространстве. Пусть дана про-

→ → →

странственная система координат {O, g1 , g2 , g3 } .

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 123

Определение Будем говорить, что линия L в пространстве задана

4.1.4.

→

параметрически вектор-функцией r

= F (τ) (или в

координатной форме

Fx (τ)

Fy (τ)

Fz (τ)

где Fx (τ), Fy (τ), Fz (τ) – непрерывные, скалярные функции от τ , определенные для τ Ω ), если

1) для любого τ Ω	→	→
1) для любого τ Ω	точка r	= F (τ) ле-
жит на L,
→

2)для любой точки r0 , лежащей на L, су-

ществует τ0 Ω , такое, что выполнено

→ →

равенство r0 = F (τ0 ) .

Иногда линия в пространстве задается системой уравнений

G(x, y, z) = 0,

H (x, y, z) 0,

которая получается исключением параметра τ из соотношений

x = Fx (τ),
		τ Ω ,
y = Fy (τ),
z = F (τ),
	z

или же равносильным уравнением, например, вида

	G 2 (x, y, z) + H 2 (x, y, z) = 0 .
Пример	1°. В декартовой системе координат алгебраическая линия
4.1.3.	второго порядка x 2 + y 2 = 0 z является прямой.

124	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
	2°. В ортонормированной системе координат винтовая
	линия радиуса R с шагом 2πa может быть задана в
	следующем параметрическом виде:
	x = R cos τ,

	y = R sin τ , τ (−∞,+∞) ,

	z = aτ
	x = R cos	z	,
	x = R cos		,
		a
	или же	a
	или же	z
	y = R sin	z		.
	y = R sin			.
		a

§ 4.2. Поверхности в пространстве

Пусть	имеется		пространственная	система	координат
→ →	→	и Ω –	множество упорядоченных пар чисел ϕ, θ ,
{O, g1 , g2 , g3 }
заданное условиями: α ≤ ϕ ≤ β, γ ≤ θ ≤ δ .
Определение		Будем говорить, что в пространстве поверхность S

4.2.1.задана параметрически вектор-функцией

→→

=F (ϕ, θ) (или в координатной форме

→		Fx (ϕ, θ)
		Fx (ϕ, θ)
	=	Fy (ϕ, θ)
r	=	Fy (ϕ, θ)	,
	g	Fz (ϕ, θ)
	g

где Fx (ϕ, θ), Fy (ϕ, θ), Fz (ϕ, θ) – непрерывные скалярные функции двух аргументов ϕ, θ , опреде-

ленные для ϕ, θ Ω ), если

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 125

1) для любой упорядоченной пары чисел

→	=	→
ϕ, θ Ω точка r	=	F (ϕ, θ) лежит на S,
	→

2)для любой точки r0 , лежащей на S, суще-

ствует упорядоченная пара чисел

ϕ0 , θ0 Ω, таких, что выполнено равен-

→ →

ство r0 = F (ϕ0 , θ0 ) .

Иногда поверхность в пространстве задается в виде уравнения G(x, y, z) = 0 , которое получается исключением ϕ и θ из системы уравнений

Пример

4.2.1.

x = Fx (ϕ, θ),

y = Fy (ϕ, θ), ϕ, θ Ω .
z = F (ϕ, θ).
	z

В ортонормированной системе координат сфера радиуса

R с центром в точке y0 может быть параметрически

задана в виде

x = x0		+ R cos ϕsin θ,	≤ ϕ < 2π,
		0
y = y0		+ R sin ϕsin θ,	≤ θ ≤π,
	z = z0	0
		+ R cos θ,

а ее уравнение в координатах

(x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R 2 .

126	Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Определение	Поверхность называется алгебраической, если ее

4.2.2.уравнение в декартовой системе координат имеет вид

	m
	∑ak x pk y qk z r k = 0 , где pk , qk	и rk – целые
	k =0
	неотрицательные числа, а числа ak	не равны нулю
	одновременно.
	Число N = max {pk + qk + rk } называется поряд-
Определение	Число N = max {pk + qk + rk } называется поряд-
4.2.3.	k =[0,m]

ком алгебраического уравнения, (указанного в опре-

делении 4.2.2), где максимум находится по всем k,

для которых ak ¹ 0 . Наименьший из порядков ал-

гебраических уравнений, задающих данную алгеб- раическую поверхность, называется порядком алгеб-

раической поверхности.

Пример	Прямой круговой цилиндр					(N = 2)
4.2.2	x	2	+ y	2	-1 = 0
(алгебраи-
	Сфера
ческие по-			+ y 2		+ z 2 - R 2 = 0	(N = 2)
верхности).	x 2
Теорема	Порядок алгебраической поверхности не зависит от

4.2.1.выбора системы координат.

Доказательство.

Аналогично доказательству теоремы 4.1.1.

Замечание: тела в пространстве можно задавать, используя ограни- чения типа неравенств.

Глава 4 . Нелинейные объекты на плоскости и в пространстве 127

§ 4.3. Цилиндрические и конические поверхности

→ → →

Пусть в пространстве заданы система координат {O, g1 , g 2 , g3 }

→→

инекоторая линия r = F (ϕ) , ϕ Ω , которую будем называть на-

правляющей. Проведем через каждую точку направляющей линии прямую, называемую образующей, параллельно некоторому ненуле-

→

вому вектору a .

Определение Совокупность всех точек пространства, лежащих на

4.3.1.образующих данного вида, называется цилиндриче-

ской поверхностью.

Составим уравнение цилиндрической поверхности в общем виде.

→	→	→
Во введенных обозначениях r = F (ϕ)		+ KM (см. рис. 4.3.1), но по
определению цилиндрической поверхности
→	→

KM = θ a,

и, следовательно, уравнение цилиндрической поверхности в вектор- ной форме имеет вид

→ → →

r (ϕ, θ) = F (ϕ) + θ a , ϕ Ω, θ (−∞, + ∞).

Пусть в координатной форме

→

F (ϕ)

тогда после исключения θ

x − Fx (ϕ)

Fx (ϕ)

= Fy (ϕ) и

Fz (ϕ)

получаем

= y − Fy (ϕ) = a y

→		=	ax
→			ax
a			ay	,
	g		az
	g

z− Fz (ϕ) . az

128	Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Пример

Прямая круговая цилиндрическая поверхность, для кото-

4.3.1.рой в ортонормированной системе координат

-направляющей служит окружность радиуса 3, ле- жащая в плоскости, перпендикулярной оси аппли- кат, с центром в начале координат,

-а образующими являются прямые, перпендикуляр- ные этой плоскости, задается сиcтемой условий

x = 3cos ϕ,		→	3cos ϕ	→		0
x = 3cos ϕ,			3cos ϕ			0
			3sin ϕ		=	0	.
y = 3sin ϕ,		поскольку F (ϕ) =	3sin ϕ	; a	=	0	.
	z = θ,		0			1
	z = θ,		0			1

Заметим, что если из полученных соотношений также исключить и параметр ϕ, то получится уравнение вида x 2 + y 2 = 9 для любого z , откуда следует, что порядок данной алгебраической поверхности

N = 2 .

Рис. 4.3.1

Рис. 4.3.2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5513 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019921.6 Кб14МУ для САТ по СУБД.doc
#
13.11.2019187.39 Кб2Му Кур.р ВЭДП1.doc
#
07.09.201958.44 Кб3Мужское бесплодие.docx
#
03.06.201562.77 Кб19Мужское бесплодие.docx
#
03.06.2015418.37 Кб23МФТИ - Конкурс-67.pdf
#
03.06.20156.64 Mб39МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544.pdf
#
03.06.20153.67 Mб20Наноолимпиада физика.pdf
#
27.03.20163 Mб15Научный доклад.pdf
#
03.06.2015717.3 Кб11Национальный манифест.pdf
#
27.03.20162.89 Mб33Начало работы с Oracle 11g Express Edition.pdf
#
03.06.2015941.75 Кб46НЛП Манипуляции основное.pdf