МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

В ортонормированной системе координат главный вектор плоско-

3.3.3.→ → →

{O, e1 , e2 , e3} найти расстояние от точки M с радиу-

следовательно,

→→ →

λ= − (n, r − r0 ) ,

→2

| n |

тогда для искомого расстояния получим

→

| MK | =

Рассмотрим теперь ортонормиро- ванную систему координат.

3.3.4.этом случае плоскости

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

будут параллельны тогда и только тогда, когда их главные векторы коллинеарны.

Доказательство.

Докажем достаточность. Если главные векторы коллинеарны, то существует такое число l ¹ 0 , что

A1 = λ A2 ; B1 = λB2 ; C1 = λC2 ,

исистема уравнений

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

плоскостей.

Докажем необходимость. Пусть плоскости

A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

параллельны. Тогда они должны пересекать одни и те же ко- ординатные плоскости по параллельным прямым.

Пусть для определенности этими координатными плоскостя- ми являются плоскости, для которых x = 0 и z = 0 . Линии пересечения, соответствующие первой из координатных плос- костей, будут определяться системами уравнений

Параллельность этих прямых означает существование λ ¹ 0 такого, что B1 = lB2 ; C1 = lC2 .

Рассматривая случай z = 0 , получаем аналогичную систему

но из условия B1 = lB2 и параллельности этой пары прямых вытекает, что A1 = lA2 .

Теорема доказана.

3.3.2.

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A1 + B1 + C1 > 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A2 + B2 + C2 > 0

были уравнениями одной и той же плоскости, не- обходимо и достаточно, чтобы существовало чис- ло l ¹ 0, такое, что

A1 = λ A2 ; B1 = λB2 ; C1 = λC2 ; D1 = λD2 .

Определение Пучком плоскостей в пространстве называется сово-

3.3.4.купность всех плоскостей, проходящих через данную прямую.

Определение Уравнением пучка плоскостей, проходящих через

3.3.5.прямую, определяемую пересечением пары непарал- лельных плоскостей

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A1 + B1 + C1 > 0

и

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A2 + B2 + C2 > 0,

называется уравнение вида

α( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) +

+β( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0,

α+ β > 0.

Определение Связкой плоскостей в пространстве называется сово-

3.3.6.купность всех плоскостей, проходящих через данную точку.

§3.5. Решение геометрических задач методами векторной алгебры

Эффективность использования методов векторной алгебры при решении геометрических задач во многом зависит от правильного выбора представления геометрических условий в векторной форме. Например, если ввести определения, равносильные используемым в элементарной геометрии, то вычисление углов, определяющих взаим- ное расположение прямых и плоскостей в пространстве, может быть сведено к нахождению скалярных и/или векторных произведений со- ответствующих нормальных и направляющих векторов.

между векторами n и a .

В таблицах 3.5.1–3.5.3 приведены некоторые из часто употребляемых форм выражения геометрических условий при помощи векторных операций.

Таблица 3.5.1

Относительная ориентация прямых в пространстве