МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544
.pdf
1 . |
49 |
||
|
|
|
|
1 g1 2 g 2 3 g3 o ,
1 1 11 1 12 2 13 3 1 ,
2 2 21 1 22 2 23 3 2 ,
3 3 31 1 32 2 33 3 3 .
{g1 , g 2 , g3 } , -
, o , , -
1 2 3 0
1 11 1 12 2 13 3 1 ,
2 21 1 22 2 23 3 2 ,
3 31 1 32 2 33 3 3 .
.
|
|
|
(1.8.2) |
|
|||
|
1.8.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{O, g1 |
, g 2 |
, g3 } |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{O , g1 , g 2 , g3 } . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, « » (1.8.1) (1.8.2)
.
, (1.8.2),
“ ” “ ”, -
S 
, “ ”
50
1 |
|
“ ” , 2 |
“ ” |
3
“ ” .
|
|
S |
|
11 |
12 |
|
|
|
|||
|
|||||
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|||||
1.8.2. |
|
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, g |
|
} . |
|
|
{g1 |
, g 2 |
3 |
|
|
||
|
|
|||||
1.8.2. |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
det |
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
31 |
32 |
13
23 -
33
{g1 , g 2 , g3 }
13
23 0.
33
.
|
11 |
12 |
13 |
|
|
21 |
22 |
23 |
- |
|
31 |
32 |
33 |
|
-
|
|
|
|
||
|
, g |
|
, g |
|
} {g1 , g 2 , g3 } . |
{g1 |
2 |
3 |
|||
1.6.3 .
.
1 . |
|
|
|
51 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||
1.8.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
” {O, g1 |
, g 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} ( . 1.8.2). |
||||||||||||||||
|
} “ ” {O , g1 |
, g 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
, “ ” - |
|||||||||||||||||||||||||||
|
“ ”, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
g1 O O g 2 |
|
|
|
g1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
. |
|
|
- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, - |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
“ ” “ - |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
”: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 g 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g 2 g1 2 g 2 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
, |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
. 1.8.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, “ ” “ ”
1 |
2 1, |
||
|
2 |
2 1 |
2 2 . |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
{O, e1 |
|
|
|
}. , |
, e2 } {O , e1 , e2 |
||||
. 1.8.3.
52 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 cos e2 sin |
|
|
e1 sin e2 cos |
||||||||
e1 |
e2 |
||||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
cos |
sin |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S |
|
|
sin |
cos |
|
, OO |
|
2 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ ” |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
“ ” |
|||||
1 1 cos 2 sin 1 ,2 1 sin 2 cos 2 .
. 1.8.3
-
“ -
”
. 1.8.4
OO O .
,
-
, , .
. 1.8.4.
, e1
e1 , -
e2
1 . |
53 |
, .
1 1 cos 2 sin 1 ,2 1 sin 2 cos 2 .
, . 1.8.3 . 1.8.4,
,
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
||
|
|
|
1.8.3. |
||
|
|
b - |
|
, -
a b
.
.
, 
S 
, -
, det 
S 
1, det 
S 
1 ,
(
), det 
S 
1
.
54 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
Глава 2
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§ 2.1. Ортогональное проектирование
Определение
2.1.1.
Определение
2.1.2.
Рис. 2.1.1
Прямую l с расположенным
на ней ненулевым вектором
→
b будем называть осью.
→
Вектор b называется на- правляющим вектором оси l.
Пусть дана точка M , не лежащая на оси l, тогда ос- нование перпендикуляра, опущенного из M
– точку M , будем назы-
вать ортогональной проек-
цией точки M на ось.
Примером оси может служить ось координат – прямая, проходя- щая через начало координат, направляющим вектором которой слу- жит один из базисных векторов.
|
|
→ |
Определение |
Ортогональной проекцией вектора a на ось l назы- |
|
2.1.3. |
Λ |
→ |
|
вается вектор Prl |
a, лежащий на оси l, начало кото- |
рого есть ортогональная проекция начала вектора
Глава 2 . Произведения векторов |
55 |
→
a на ось l, а конец – ортогональная проекция конца
→
вектора a .
→
Выполним нормировку направляющего вектора b , то есть заме-
|
→ |
|
|
→ |
|
→ |
|
= |
|
b |
|
||
ним его на вектор e |
|
|
и рассмотрим нормированный базис {e} |
|||
|
→ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
b | |
|||
на оси l (рис. 2.1.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определение |
Численным значением ортогональной проекции век- |
|||||
2.1.4. |
|
→ |
|
|
|
|
|
тора |
a |
|
на ось l называется координата вектора |
||
|
Λ → |
|
|
→ |
||
|
Pr a в базисе {e}4. |
|||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
Определение |
Углом между ненулевыми векторами a и b называ- |
|||||
2.1.5.ется величина наименьшего из двух углов, образуе- мых этими векторами при совмещении их начал.
|
|
|
|
|
|
→ |
Численное значение ортогональной проекции вектора |
a на ось l |
|||||
|
|
→ |
|
|
||
обозначим как Пр a . Из рис. 2.1.2 очевидно, что |
|
|||||
|
|
l |
|
|
||
→ |
|
→ |
→ |
→ |
||
Прl a = |
|
a |
|
cos ϕ , |
где ϕ есть угол между a и |
e . |
|
|
|||||
Рис. 2.1.2
4 Верхний символ « Λ » будет использоваться для обозначения различного рода операций, например: проектирования, поворота, отражения, дифферен- цирования и т.д.
56 |
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
Свойства ортогональных проекций
1.1°. Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этих векторов:
Λ → |
→ |
Λ → |
Λ → |
Prl (a1 |
+ a2 ) = Prl a1 |
+ Prl a2 . |
|
Данное свойство иллюстрирует рис. 2.1.3.
Рис. 2.1.3
1.2°. Если вектор умножить на вещественное число, то его проек- ция также умножится на это число:
Λ → Λ →
Prl (λ a) = λ Prl a .
Заметим, что свойства 1.1° и 1.2° можно объединить в следующее утверждение:
Проекция линейной комбинации векторов равна той же линей- ной комбинации проекций:
Λ |
→ |
|
→ |
Λ → |
|
Λ → |
Prl (λ1 a1 |
+ λ |
2 a2 ) = λ1 Prl a1 |
+ λ |
2 Prl a2 . |
||
Справедливость свойств 1.1° и 1.2° вытекает из определения опе- рации ортогонального проектирования и правил действия с вектора- ми.
Глава 2 . Произведения векторов |
|
|
|
57 |
||
Свойства численных значений |
|
|
|
|
||
ортогональных проекций |
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
|
2.1°. Прl (a1 + a2 ) = |
Прl a1 |
+ Прl |
a2 ; |
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
2.2°. Прl l a |
= l Прl a . |
|
|
|
|
|
Или, объединяя 2.1° и 2.2°, |
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
||||
Прl (l1 a1 + l |
2 a2 ) = l1 Прl a1 |
+ l |
2 Прl a2 . |
|||
Отметим, что эти равенства следуют из свойств ортогональных проекций и свойств координат векторов.
§2.2. Скалярное произведение векторов
иего свойства
→
Определение Скалярным произведением ненулевых векторов a и
2.2.1.→
b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
В случае, когда хотя бы один из сомножителей есть нулевой вектор, скалярное произведение считается равным нулю.
|
→ |
→ |
|
Скалярное произведение |
векторов a и |
b |
обозначается как |
→ → |
|
→ |
→ |
(a, b) . Таким образом, для ненулевых векторов a и b : |
|||
→ → |
→ → |
|
|
(a, b) = | a || b | cos j , |
|
|
|
где ϕ – угол между векторами-сомножителями. При этом согласно определению 2.1.5, 0 ≤ ϕ ≤ π .
→ |
→ |
|
|
Заметим также, что если b |
¹ o , то справедливо равенство |
||
→ → |
|
→ |
→ |
( a , b ) = |
b |
Пр→ a . |
|
|
|
|
b |
58 |
|
Аналитическая геометрия и линейная алгебра |
||
Свойства скалярного произведения |
||||
1°. |
→ → |
→ |
→ → |
→ |
(a, b) = 0 при a |
¹ o и b |
¹ o тогда и только тогда, когда |
||
→→
a и b взаимно ортогональны.
|
|
→ → |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2°. (a, b) = |
(b, a) |
следует из определения скалярного произве- |
||||||||||||||||
|
|
дения и свойств косинуса (коммутативность). |
|
|||||||||||||||
3°. |
→ |
→ → |
|
|
→ → |
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(a1 |
+ a2 , b) |
= (a1 , b) |
+ (a2 , b) |
(дистрибутивность). |
||||||||||||||
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Если b |
= o , то 3° очевидно. Пусть b ¹ o , тогда |
|||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
→ → |
|
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|||||
|
|
|
|
(a1 |
+ a2 , b) = |
b |
Пр→ (a1 |
+ a2 ) |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
b |
→ |
|
→ → |
→ → |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
b |
Пр→ a1 |
+ |
b |
Пр→ a2 |
= (a1 , b) + (a2 , b). |
||||||||
|
|
Свойство доказано. |
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4°. |
→ → |
|
|
|
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(l a, b) |
= l(a, b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
→ → |
→ |
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
||
5°. |
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
||||||||
(a, a) =| a |2 ³ 0 "a ; | a | = (a, a) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
→ |
→ |
||
|
|
(заметим также, |
что условия (a , a ) = 0 |
и a |
= o равносиль- |
|||||||||||||
|
|
ны). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
|
||||
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|||||
6°. |
|
|
|
|
|
(a, b) |
|
|
||||||||||
При a ¹ o и b |
¹ o |
cos j = |
|
|
|
, где ϕ – угол меду |
||||||||||||
|
→ |
→ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
a || b | |
|
|
|||
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами a и b .