МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

y2 + ( x + y1 ) = y2

в силу ассоциативности операции сложения и второго равенст- ва. Но, с другой стороны,

y2 + ( x + y1 ) = ( y2 + x) + y1 = o + y1 = y1 ,

то есть y2 = y1 .

Теорема доказана.

Теорема Для каждого x Λ противоположным элементом

7.1.4.служит элемент (−1)x .

Доказательство.

Из аксиоматики линейного пространства и в силу теорем 7.1.2– 7.1.3 имеем

o = 0x = (1 − 1)x = 1x + (−1)x = x + (−1)x .

Это равенство и означает, что противоположный к x элемент имеет вид (−1)x .

Теорема доказана.

§7.2 Линейная зависимость, размерность и базис

влинейном пространстве

i=1

7.2.1.нейного пространства было линейно зависимым, не- обходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство.

Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.4.1, в ко- тором слово “ вектор” заменено словом “ элемент”.

7.2.2.x1 , x2 , ... , xn линейно зависимо, то линейно зависимы

исами элементы x1 , x2 , ... , xn .

Доказательство.

Без ограничения общности можно предположить, что линейно зависимое подмножество состоит их первых k < n элементов множества x1 , x2 , ... , xn . Тогда существуют не равные нулю

k

одновременно числа λ1 , λ 2 ,..., λ k , такие, что ∑λ i xi = o .

i=1

Но это равенство можно записать в виде

k n

∑λi xi + ∑0xi = o ,

i=1 i=k +1

что и доказывает линейную зависимость элементов

x1 , x2 , ... , xn .

Лемма доказана.

Определение Базисом в линейном пространстве Λ называется лю-

7.2.2.бой упорядоченный набор его n элементов, если

1)эти элементы линейно независимые;

2)любое подмножество в Λ , содержащее

n + 1 элемент, включая эти n элемен- тов, линейно зависимое.

Определение Линейное пространство Λ называется n-мерным и

7.2.3.обозначается Λn , если в нем существует базис, со- стоящий из n элементов. Число n называется раз-

мерностью линейного пространства Λn и обознача-

ется dim( Λn ) .

Теорема Для каждого элемента линейного пространства Λn

7.2.1.существует единственное представление в виде ли- нейной комбинации базисных элементов.

ложения, таким образом, доказано.

Покажем теперь единственность разложения. Допустим, что существуют две различные линейные комбинации

n

∑(ξi − ηi )gi = o ,

i=1

но это означает, что при данном допущении система элементов g1 , g2 ,..., gn линейно зависима. Полученное противоречие доказывает единственность.

Теорема доказана.

В общем случае линейное пространство может не иметь базиса. Таким свойством обладает, например, линейное пространство, со- стоящее из одного нулевого элемента. В таблице 7.2.1 приведены примеры базисов в линейных пространствах.

Покажите самостоятельно, что справедлива

7.3.1.W2 в Λ суть также подпространства в Λ .

Теорема Размерность суммы подпространств W1 и W2

7.3.2.равна

dim(W1 + W2 ) =

= dim(W1 ) + dim(W2 ) - dim(W1 Ç W2 ).

Доказательство.

зависим в Λ .

Рассмотрим некоторую, равную нулевому элементу, ли- нейную комбинацию этих элементов:

m

Заметим, что по построению ∑l¢¢p g ¢p¢ Î W2 ,

p=1

является базисом в W1 Å W2 .

Линейная оболочка системы элементов

Определение Совокупность всевозможных линейных комбинаций

7.3.3.некоторого множества элементов {x1, x2 ,..., xk } ли-

Пусть задан набор элементов {x1 , x2 ,..., xk } Λ , порождающих линейную оболочку L{x1, x2 ,..., xk }, тогда любой элемент этой ли-

k

нейной оболочки имеет вид x = ∑λi xi и справедлива

i=1

Теорема Множество всех элементов, принадлежащих линейной

7.3.3.оболочке L{x1, x2 ,..., xk }, является в Λ подпростран-

ством размерности m , где m – максимальное число линейно независимых элементов во множестве

{x1, x2 ,..., xk }.

Доказательство.

1°. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для совокуп-

k

ности элементов вида x = ∑λi xi (в предположении, что

i=1

λi − произвольные числа) справедливы все аксиомы из