МФТИ 2012 Умнов АЕ АГ+ЛА Стр001-544

что в силу теоремы 6.2.1 означает

det ( A B ) = det A × det B .

Теорема доказана.

§ 6.3. Разложение определителей

6.3.1.зованной элементами, стоящими на пересечении

6.3.2.образованной элементами, остающимися после вы-

Выберем в матрице A i -ю строку и j -й столбец, на пересече-

нии которых расположен элемент aij . Удалим из A выбранные

строку и столбец, рассмотрим квадратную матрицу A+ размера

(n − 1) × (n − 1) .

которые можно использовать для вычисления определителей квадрат- ных матриц, находя значения алгебраических дополнений при помо- щи соотношений, которые устанавливает

очевидно, что Б(1, k2 , k3 ,..., kn ) = Б(k2 , k3 ,..., kn ) ,

det A′ = (−1)i −1+ j −1 det A = (−1)i + j det A .

Согласно линейному свойству определителя (теорема 6.2.3) данное соотношение будет также выполняться и для каждого из его слагаемых, а значит, в силу формул (6.3.1) и для каждого

алгебраического дополнения Dij . Поэтому справедливо равен-

приходим к равенству Dij = (−1)i+ j M ij .

Теорема доказана.

некера (см. § 2.2).

Доказательство.

По определению 6.3.4 алгебраического дополнения имеем det A = a1 j D1 j + a2 j D2 j +K + anj Dnj , то есть утвер-

ждение теоремы для случая j = s справедливо.

Пусть теперь j ¹ s . Тогда выражение

a1 j D1s + a2 j D2s + ... + anj Dns

можно рассматривать как разложение по s-му столбцу опреде-

лителя матрицы, у которой s-й столбец совпадает с j-м столб- цом. Но такой определитель равен нулю по следствию 6.2.2.

Теорема доказана.

Аналогичное соотношение получается и для произведения

B A и по определению 1.1.4

A B = B A = E ,

но тогда, согласно определению 5.1.2 и лемме 5.1.1,

B = A −1 .

Следствие доказано.

Проверьте самостоятельно справедливость формулы (5.1.1).

Обозначим I = i1 + i2 + ... + ik и J = j1 + j2 + ... + jk , тогда оказывается справедливой обобщающая следствие 6.3.1

n= ( x + a(n − 1))( x − a) n−1 .

§6.4. Правило Крамера

6.4.1.

называть решением системы линейных уравнений,

если при подстановке этих чисел в каждое из уравне- ний системы мы получаем тождество.

Изменим порядок суммирования (то есть выполним пере- группировку слагаемых) в левой части этого равенства:

есть решение данной системы линейных уравнений. Убедим-

ся в этом, подставив значения xi в левые части исходной системы линейных уравнений (6.4.1):

k =1

Для получения последнего равенства мы снова изменили по- рядок суммирования и воспользовались теоремой 6.3.2.

Теорема доказана.

§ 6.5. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу A размера m × n . Пусть

1 ≤ k ≤ min{m, n}.

Выберем в A k фиксированных столбцов и строк, на пересечении которых стоит матрица минора порядка k .

Пусть при данном k все миноры k -го порядка равны нулю, тогда будут равны нулю и все миноры порядка выше, чем k , поскольку каждый минор (k + 1) -го порядка представим в виде линейной ком-

бинации миноров порядка k (cм. следствие 6.3.1).

Определение Наивысший из порядков, отличных от нуля миноров

6.5.1.

матрицы A , называется рангом матрицы и обо-

значается rg A .

Определение Любой ненулевой минор матрицы, порядок которого

6.5.2.равен ее рангу, называется базисным минором.

Определение Столбцы (строки) матрицы, входящие в матрицу ба-

6.5.3.зисного минора, называются базисными.