Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 508 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Переходя к пределу (см. теорема 2 §3 гл.2), получим
lim σn = lim		(αSn )=α lim Sn =αS .
n→∞	n→∞	n→∞

Теорема доказана.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак суммы.

∞		∞
Теорема 2. Если ряды ∑un ,		∑ vn
n=1		n=1
∞	= S ,	∞
сходится. При этом, если ∑ un	= S ,	∑ vn
n=1		n=1

∞

сходятся, то и ряд ∑ (un + vn )

n=1

=σ , то

∞

∑ (un + vn )= S +σ .

n=1

Доказательство. Пусть Sn = ∑ uk ,σn =

∑ vk – частичные суммы

k =1

сходящихся рядов. Тогда Sn +σn =

(uk

+ vk )= Sn′

– частичная сумма

∑

k =1

∞

+ v

Переходя

пределу

равенстве

+σ

= S ′,

ряда ∑ (u

n=1

получим

lim Sn′

(Sn +σn )= S +σ

= lim

n→∞

∞

+ vn )

– существует,

следовательно,

ряд

∑ (un

сходится.

Теорема

доказана.

n=1

Следствие. Сходящиеся ряды можно почленно складывать.

Замечание.

Из

сходимости

ряда

∞

(un

+ vn )

не

следует

∑

n=1

((−1)n + (−1)n+1 )= 0

∞

сходимость рядов

∑un

∑ vn . Например, ряд

∑

n=1

∞

расходятся.

сходится, а ряды ∑(−1)n ,

∑ (−1)n+1

n=1

Теорема 3 (ассоциативный закон). Если в сходящемся ряде

∞

∑ un = u1 + u2 +... + un +... (4)

n=1

произвольно объединить соседние члены в группы, не нарушая порядка

	vn			vn
следования членов (u1 +u2	1	)+ (un			2	+... + un )+... и найти
следования членов (u1 +u2	+... + un	)+ (un	+1	+ un	+2	+... + un )+... и найти
	1	1		1		2
	71

суммы vn	,vn	,vn ,...	членов,		входящих			в		каждую из групп, то
1	2	3
составленный из этих сумм ряд							∞
			vn + vn + vn				∞
			vn + vn + vn			+... = ∑ vn				(5)
			1	2	3		k =1	k
							k =1
будет сходиться и иметь ту же сумму, что и ряд (4).
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы ряда (4) и ряда
(5).			Sn	= u1 +u2		+... +un +... + un ,
			Sn	= u1 +u2		+... +un +... + un ,
							1
			σn	= vn	+ vn +... + vn				,	n > nk .
			k	1		2	k
Очевидно, Sn = vn =σn ,					Sn	= vn	=σn		и т.д.
		1	1	1	2	2	2
То есть	последовательность					{σnk }	– это			подпоследовательность

последовательности {Sn }, а так как последовательность {Sn } сходится,

то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу (см. теорема 1 §6 гл.2). Теорема доказана.

Замечание. Теорема 3 разрешает ставить скобки в сходящемся

ряде. Но опускать скобки нельзя.
Например,	ряд	(1 −1) + (1 −1) +K	сходится,	а	ряд

1 −1 +1 −1 +1−1K расходится.

Теорема 4. Ряд сходится тогда и только тогда, когда любой его остаток сходится.

Доказательство. Пусть

Sm	Sk(m)
Sn = (u1 +u2 +...+um )+(um +1	+um +2 +...+um +k ),	n = m + k,
или
Sm+k = Sm + Sk (m).		(6)

Здесь Sm+k = Sm + Sk (m) – n-я частичная сумма данного ряда,

Sk (m) – k-я частичная сумма m-го остатка ряда.
Фиксируя m в (6), видим, что из существования lim Sk (m)		(то есть
	k →∞
из сходимости m-го остатка ряда) следует существование
lim Sm+k = lim Sn ,
k→∞	n→∞

(то есть сходимость ряда) и наоборот. Теорема доказана.

Следствие. Отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Переходя к пределу в (6) при k → ∞, получим

S = Sm + rm .

(7)

§2. Критерий Коши сходимости ряда

Рассмотрим ряд

∞

∑un (1)

n=1

(un может быть комплексным).

Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал номер Nε такой, что

un+1 + un+2 +... +un+ p = ∑un+k < ε n > Nε p N . (2)

k =i

Доказательство. Согласно критерию Коши сходимости числовой последовательности {Sn} (см. §7 гл. 2) необходимо и достаточно выполнения условия:

ρ(Sm , Sn ) =

Sm − Sn

< ε

m, n > Nε , или, полагая

m = n + p ,

получим

Sn+ p − Sn

< ε

n > Nε p N .

(3)

Пусть {Sn} – последовательность частичных сумм ряда (1). Тогда

Sn+ p − Sn

u1 + u2 +... + un +un+1 + un+2 +... + un+ p −(u1 + u2 +... + un )

un+1 + un+2 +... + un+ p

< ε

n > Nε p N .

Это совпадает с (2) и теорема доказана.

Следствие (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд (1)

сходится, то un → 0 при n → ∞.

Доказательство. Если ряд (1) сходится, то выполняется условие

(2) при любом p . Положим p =1. Тогда получим un+1 < ε n > Nε .

Это означает, что последовательность {un+1} ={uk }					бесконечно
малая, то есть	uk	→ 0 при k →∞, что и требовалось доказать.
малая, то есть	uk	→ 0 при k →∞, что и требовалось доказать.
		∞	+	1
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∑ ln 1					.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∑ ln 1				n	.
		u=1		n

Решение. Положим p = n + 2 , ε = ln2 и воспользуемся критерием Коши:

ln 1

+ ln 1

+...

+ ln

n +1

+ 2

2n + 2

n + 2 n + 3 n + 4

2n + 3

...

= ln

> ln 2 –

+1 n + 2 n +3

2n + 2

n +1

критерий Коши не выполняется. Ряд расходится.

∞

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1 n2 +1

Решение. un =

→1 при n → ∞. Ряд расходится, так как не

выполняется необходимое условие сходимости.

§3. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

Рассмотренные в §2 теоремы справедливы для любого числового ряда, в том числе и для ряда с комплексными членами.

Рассмотрим теперь частный случай, когда члены ряда действительные неотрицательные числа

∞

∑un ,un ≥ 0 . (1)

n=1

В этом случае справедливы несколько дополнительных критериев (признаков) сходимости.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием сходимости ряда с неотрицательными членами является ограниченность последовательности {Sn } его частичных сумм.

Доказательство. Пусть ряд (1) сходится. Это означает, что последовательность {Sn } его частичных сумм сходится. А так как

любая сходящаяся последовательность	ограничена (см. теорема 3 §1
гл. 2), то необходимость доказана.
Пусть теперь последовательность частичных сумм {Sn }
ограничена. Поскольку un ≥ 0 , то	она монотонно возрастает

(неубывающая). Но монотонная ограниченная последовательность сходится (см. теорема 3 §1 гл. 2), и достаточность доказана. Теорема доказана.

Следствие. Если ряд с неотрицательными членами расходится, то Последовательность его частичных сумм {Sn } неограниченная. А так

как она монотонно возрастает, то является бесконечно большой, то есть

lim Sn = ∞.

n→∞

∞ 1

Пример 1. Доказать, что обобщенный гармонический ряд ∑ s

n=1 n

сходится при s > 1.

Решение.

S2n+1

2 2

=1+

+... +

(2n +1)

(2n)

+... +

=1+

+... +

(2n)s

2s−1 2s

2s−1 3s

2s−1 ns

2s−1

n N .

=1+

+...

=1+

s−1

Поскольку Sn < S2n+1

<1+

Sn , то

2s−1

Sn 1−

<1.

Sn <

n N

s−1

1−s

1− 2

(здесь 1−

> 0, так как s >1).

2s−1

{Sn }

частичных сумм ограничена

Итак,

последовательность

сверху и монотонно возрастает, следовательно, имеет предел. Что и требовалось доказать.

∞

Пусть ∑un = u1 + u2 +... +un +...,(u) ,

n=1

∞

∑ vn = v1 + v2 +... + vn +...,(v) – два ряда с неотрицательными

n=1

членами. Назовем их u и v соответственно.
Теорема 2 (первый признак сравнения). Если
un ≤ vn n > N1 ,	(2)

то из сходимости ряда v следует сходимость ряда u . А из расходимости ряда u – расходимость ряда v .

Доказательство. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, то будем считать, что неравенство (2)

выполняется n ≥1. Складывая неравенства (2), получим
Sn ≤σn n N ,	(3)
75

где Sn	и σn – частичные суммы рядов u и v .			его частичная
Пусть ряд v сходится. Тогда, согласно теореме 1,
сумма	ограничена,	то есть σn ≤ M n N .	Из	(3) следует
Sn ≤ M n N (в силу транзитивности знаков <,			=). Следовательно,
согласно теореме 1, и ряд u сходится.
Пусть теперь		ряд u расходится. Тогда	последовательность
частичных сумм {Sn }		неограниченная. Из (3) следует неограниченность

частичных сумм σn, а из теоремы 1 – расходимость ряда v . Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

∞

, x >1.

∑

1+ xn

n=1

Решение.

un =

= qn , q

<1.

Так как ряд

+ x

∞

∑

= ∑ qn

сходится

как

сумма числовой

геометрической

n=1

прогрессии, то по первому признаку сравнения данный ряд сходится

для x >1.

Пример 3. Исследовать

на

сходимость

обобщенный

∞

, s ≤1.

гармонический ряд ∑

n=1 ns

∞

Решение. Так как

≥

а гармонический ряд

∑

расходится,

n=1 n

то, согласно первому признаку сравнения, ряд при s ≤1 расходится.

∞

сходится при s >1 и

Итак, обобщенный гармонический ряд ∑

n=1 ns

расходится при s ≤1. Сумму этого ряда называют функцией Римана и обозначают

		ζ (S )= ∑ 1 , s >1.
		∞
		n=1	ns
Теорема 3 (второй признак сравнения). Если
m ≤	un	≤ M n > N		, v ≠ 0, m > 0,	(4)
m ≤		≤ M n > N		, v ≠ 0, m > 0,	(4)
1				n
	vn
то ряды u и v оба сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Из (4) следует
	mvn ≤ un ≤ Mvn .				(5)
76

Поскольку умножение членов ряда на число не влияет на его сходимость (см. теорема 1 §1), то (5) представляет условие (2) теоремы 2. Из неравенства mvn ≤ un и теоремы 2 следует, что сходимость u

влечет за собой сходимость v , а из неравенства un ≤ Mvn следует, что расходимость u влечет за собой расходимость v . Теорема доказана.

Следствие (предельный признак сравнения). Если

lim

= q,

q ≠ 0, q ≠ ∞,

(6)

n→∞ v

то ряды u и v сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Перепишем (6) следующим образом:

− q

< ε n > N . −ε <

− q < ε. (q −ε )v < u

< (q +ε )v

– это условие совпадает с (5) теоремы 3. Следствие доказано.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

∑∞ (−1)n + 2 =

+....

n=1 2n +1

3 5 7 9

∞

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим

∑

= ∑ v .

n=1 n

n=1

Воспользуемся предельным признаком сравнения

lim un

n→∞ vn

	(−1)	n	+ 2		3		, если n - четное,
= lim						2
	2n	+1		n =	1		, если n - нечетное.
n→∞						2

Предельный признак не работает, так как предел не существует. Используя второй признак сравнения, получим

un	= ((−1)n + 2)		1	.	1	<	un	<	3	.
			1		3				2
vn		2					vn
			+ n

Ряд расходится, так как гармонический ряд расходится.

Замечание. Из примера 4 видно, что второй признак сравнения сильнее предельного признака, так как он может работать тогда, когда

предельный признак не работает.
Теорема 4 (третий признак сравнения). Если
	un+1	≤	vn+1	n ≥ N	,	u	n	≠ 0,	v	≠ 0,	(7)

	un	1							n
			vn

то из сходимости ряда v следует сходимость ряда u , а из расходимости ряда u – расходимость ряда v .

Доказательство. Перепишем (7) так:

un+1 ≤ un n ≥ N1. vn+1 vn

Последовательность	un	монотонно убывает, начиная с n ≥ N , и

	1
	vn

ограничена снизу, так как отрицательной быть не может. Следовательно, существует предел

lim un = m.

n→0 vn

Сверху она ограничена N1 членом, то есть

uN1 = M . vN1

Итак,

m ≤ un ≤ M n > N1 . vn

Пришли ко второму признаку сравнения. При этом, если m ≠ 0, то ряды u и v сходятся или расходятся одновременно (см. следствие теоремы 3). Если m = 0 , то из сходимости ряда v следует сходимость ряда u , а из расходимости u – расходимость v . Теорема доказана.

§4. Признаки сходимости Коши и Даламбера

Теорема 1 (признак сходимости Даламбера).

справедливо неравенство

un+1 ≤ q <1, un

то ряд

∞

∑un ,un > 0

n=1

Если n ≥ N1

(1)

(2)

сходится. Если

un+1	≥1,	(3)

un

то ряд (2) расходится.

∞	∞
Доказательство. Сравним ряд (2) с рядом ∑ v	= ∑ qn
n	n=1
n=1	n=1

(геометрической прогрессией). Воспользуемся третьим признаком сравнения. Если

un+1 ≤ vn+1 = qn+1 = q <1, un vn qn

то геометрическая прогрессия сходится, следовательно, и ряд (2) сходится. При q >1 геометрическая прогрессия расходится. Так как

1 ≤ q = vn+1 ≤ un+1 , vn un

то по третьему признаку сравнения ряд (2) расходится. Теорема доказана.

Следствие (предельный признак Даламбера). Если для ряда (2)

lim		un+1			= l ,	(4)

n→∞ un
то при l <1 ряд (2) сходится, а при l >1 расходится.
Доказательство. Перепишем (4) в виде
l −ε <	un+1			< l +ε ε > 0, n > Nε .		(4')

	un					−ε .
Если l <1, то ε найдем из уравнения l =1−2ε или l +ε =1
Тогда из (4')
	un+1			< l +ε =1−ε <1,

	un
то есть выполняется (1) и ряд сходится согласно теореме 1.
Если l >1, то ε найдем из уравнения l −ε =1. Тогда из (4')
			un+1		> l −ε =1,

				un

то есть выполняется (3) и ряд расходится согласно теореме 1. Следствие доказано.

Замечание. Рассмотрим гармонический ряд

∞	1	.	u	n+1	=	n	<1,
∑
			un			n +1
n=1 n

условие (1) выполняется, следовательно, ряд сходится. Где ошибка?

∞ n

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∑ n .

n=1 2

		Решение. Воспользуемся признаком Даламбера.
u			(	n +1 2n			1			1		3					1		3		1		1
	n+1	=			)	=			+		≤		<1	n ≥ 2	, (1	+		<		,		<		, n > 2),
								1
un				n 2	n+1		2					4					n		2		n		2
										n

ряд сходится.

Воспользуемся теперь предельным признаком Даламбера.

lim un−1 = 1 <1. Ряд сходится.

n→∞ un 2

∞

(−1)n

+ 2

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∑

Решение.

n=1

Воспользуемся

признаком

Даламбера.

un+1

((−1)

n+1

2)5

2 −(

−1)

, n

− четное,

(

)

(

−1 n

(

−

n +

n+1

5 2 +

, n

−

нечетное,

)

un+1 ≤ 3 <1 n N. Ряд сходится. un 5

Предельный признак Даламбера не работает, так как предел не

существует.

Замечание. Из примера 2 следует, что признак Даламбера сильнее предельного признака Даламбера. Однако, предельным признаком Даламбера пользоваться удобнее.

∞

(−1)n + 2

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

un+1

2 −

(

−1

, n − четное,

)

Решение.

(

−1 n

Признак

, n

−

нечетное.

)

Даламбера не работает.

Теорема 2 (радикальный признак Коши).

Если

n ≥ N ,	n u	n	≤ q <1,	(5)
1		n

то ряд (2) сходится. Если

n un ≥1,

(6)

то ряд расходится.

Доказательство. Если n un ≤ q , то un ≤ qn . По первому признаку

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 508 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf