UML_4256

Геометрически выпуклость кривой означает, что любая точка хорды не выше точки кривой (см. рис.).

Если функция y = f (x) = ax +b – линейная, то l(x) = f (x) , то есть

она одновременно выпуклая и вогнутая.

Замечание 1. Если неравенства (2) и (3) строгие, то функция называется строго выпуклой или строго вогнутой.

Определение 2. Пусть функция f (x) определена и непрерывна в

некоторой окрестности точки х0. Точка х0 называется точкой перегиба функции f (x), если она является одновременно концом интервала

строгой выпуклости и началом интервала строгой вогнутости или наоборот.

Точки перегиба (x0 , f (x0 )) графика кривой отделяют выпуклую часть кривой от вогнутой или вогнутую от выпуклой (см. рис.).

Теорема 1 (достаточное условие выпуклости-вогнутости).

выпуклая на (a,b) ; если f ′′(x)> 0 , то – строго вогнутая.

Доказательство: Пусть a < x1 < x < x2 < b . Тогда

191

f (x) строго выпуклая в этой окрестности, следовательно не имеет точки перегиба. При f ′′(x0 )> 0 аналогично получим противоречие.

Теорема доказана.

Замечание 2. Функция может иметь перегиб в точке, в которой вторая производная не существует. Например, y = 3 x . Таким образом, корни уравнения f ′′(x0 )= 0 и точки, в которых f ′′(x) не существует,

это точки возможного перегиба. На вопрос, являются ли эти точки действительно точками перегиба, отвечает следующая теорема.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Пусть функция f (x)

дважды дифференцируема в окрестности точки х0, за исключением, быть может, самой точки х0, в которой функция непрерывна. Если вторая производная при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0

– точка перегиба (меняет знак означает, что существует некоторая окрестность точки х0, в которой f ′′(x) имеет разные знаки слева и

справа от точки х0).

Доказательство. Согласно теореме 1 в этом случае точка х0 является одновременно концом интервала строгой выпуклости и началом интервала строгой вогнутости. Следовательно, по

§10. План исследования функции и построение графика

Исследовать функцию, значит определить следующее:

1)область определения, точки разрыва, чётность, нечётность;

2)интервалы монотонности, критические точки, ymax , ymin ;

3)интервалы выпуклости-вогнутости, точки перегиба;

4)асимптоты наклонные и вертикальные.

193

y

x = 0 – точка перегиба.

4. Наклонные асимптоты (см. §6 гл. 4) k =1, b = 0 , y = x .

x= ±1 – вертикальные асимптоты (см. рис.).

§11. Вектор-функция скалярного аргумента. Основные

понятия

Пусть Т R1 , G = Rn . Однозначное отображение g : T → G называют векторной функцией (вектор-функцией) скалярного аргумента t . Обозначают g (t ), t T .

194

Точки пространства G = Rn , упорядоченные n-ки действительных чисел, будем называть векторами, и обозначать g = (g1, g2 ,K, gn ).

Тогда g (t ) = (g1 (t ), g2 (t ),K, gn (t )), где gi (t ) – скалярная функция действительного аргумента t , заданная на множестве T .

Расстояние в Rn определяется формулой

1

ρ (g, g0 )= ∑n (gi − gi0 )2 2 (1)

i=1

(см. §14 гл. 1). Общее определение предела функции, данное в §2 главы 4, справедливо, естественно, и для векторной функции g (t). Тогда

t → t0 , то есть сходимость функции g (t) к a означает покоординатную

сходимость ( gi и ai называют координатами векторов g и a ). Можно доказать (см. доказательство теоремы 3 в §2 гл. 2) и обратное утверждение, то есть если gi (t )→ ai , то g (t)→ a.

Общее определение непрерывной функции (см. §7 гл. 4)

Распространим теперь понятие производной на векторную функцию g (t).

Определение. Функция g′(t ) называется производной функции g (t) в точке t , если

195

между точками, определяемое формулой (1). Поэтому из (4) следует покоординатная сходимость, то есть

действительных чисел – это геометрический вектор, который изучался в школе и в курсе линейной алгебры.

Теорема. Если функции g (t ) и r (t ) имеют производные в некоторой точке t , то

1)(g ± r )′ = g′± r′;

2)(g,r )′ = (g′,r ) +(g,r′) ;

3)(g ×r )′ = g′×r + g ×r′.

Доказательство. Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством аналогичной теоремы для скалярных функций (см. §4 гл. 5). Следует только заменить произведения функций на скалярные или векторные произведения векторных функций.

По аналогии со скалярной функцией вводятся понятия первого дифференциала

dg (t )= g′(t )dt

идифференциалов высшего порядка

dn g (t )= gn (t )dtn .

Аналогично получается и формула Тейлора

196

Чтобы не создалось впечатление, что все свойства скалярной функции переносятся на векторную функцию, докажем, например, что теорема Лагранжа (см. §2 гл. 6) не справедлива для векторной функции.

Рассмотрим частный случай векторной функции, комплекснозначную функцию действительного аргумента

g (t )= eit = cost +isin t

на отрезке [0,2π ].

Очевидно,

g (0)= g (2π )=1.

eiξ =1, ξ (0,2π ) .

Следовательно, теорема Лагранжа не справедлива для векторной функции. Не имеет место и правило Лопиталя.

Упражнение. (ez0t )′ = z0ez0t , z0 = x0 + iy0 . Доказать самостоятельно.

Замечание. Для векторной функции r (t) скалярного аргумента справедлив аналог теоремы Лагранжа, который записывается так:

| r (β) − r (α) | ≤| r&(t) | (β −α), t (α, β) .

§ 12. Понятие кривой, касательная к кривой, длина кривой

множество точек кривой Г можно упорядочить следующим образом. 197

Пусть t1 < t2 – точки из [a,b] и A1 = g (t1 ), A2 = g (t2 ) – точки на Г. Будем считать A1 p A2 ( A1 предшествует A2 ). Тем самым мы задали

направление на кривой Г.

Рассмотрим частный случай отображения, когда n = 3 . Возьмём декартову систему координат, то есть точку 0 из Rn и ортонормированный базис (i, j, k ).

z

M ∆r r M0

0 r0

y

x

Тогда непрерывная вектор-функция g (t) – геометрический вектор.

Закрепим его начало в начале координат и этот, уже несвободный

и назовём радиус-вектором. При непрерывном изменении параметра t [a,b] конец радиус-вектора r (t) опишет некоторую кривую

говорилось в §7 гл. 5. Обратим внимание только на неоднозначность такого представления. Например,

x= a cost2 , y = bsin t2 , t [0,2π ]

–различные представления одной и той же кривой – эллипса.

198