UML_4256

(3) и (6) следует разложение дроби.

a

r

(6)

b r + b r

r

r

= q +

= q +

1 2

2 1

= q +

1

+

2

.

(8)

b

b

b b

b

b

1

2

1

2

Единственность разложения (8) легко доказать методом от

противного.

Если знаменатель дроби разлагается на m простых сомножителей

b = b1b2 Kbm , то по индукции из (8) получим

rm

a

=

a

= q +

r1

+

r2

+K+

.

(9)

b

b b

Kb

b

b

b

1 2

m

1

2

m

Теорема 1

(основная

теорема

алгебры).

Всякий

многочлен

ненулевой

степени

имеет, по

крайней

мере, один

корень,

действительный или комплексный (без доказательства).

Если

x =ξ

корень многочлена

pn (x), то многочлен делится на

(x −ξ ), так как

по

теореме

Безу остаток

r = pn (ξ )= 0,

а

согласно

лемме §3

pn (x)= (x −ξ ) pn−1 (x). Здесь pn−1 (x)

–

многочлен ( n -1)-й

степени.

Число ξ может быть корнем и многочлена pn−1 (x). Тогда

p

(x)= (x −ξ ) p

(x), а

p

(x)=

(x −ξ )2

p

(x).

n−1

n−2

n

n−2

p

(x)= (x −ξ )m p

(x), p

−m

(ξ )≠ 0 ,

(1)

n

n−m

n

придем

к выводу, что корень

ξ

многочлена

pn (x)

кратности

m

является

корнем

многочленов

pn′ (x), p′′n (x),K, pn(m−1) (x),

но

не

является

корнем

многочлена p (m)

(x). То есть

кратность

корня и

n

x =ξ

порядок

первой отличной от нуля в точке

производной

многочлена совпадают.

Справедливо и обратное утверждение. Если

pn (ξ )= pn′ (ξ )=K= pn(m−1) (ξ )= 0, pn(m) (ξ )≠ 0,

(3)

n

n

p

(x)= ∑

1

p(k ) (ξ )(x −ξ )k = (x

−ξ )m

∑

1

p(k ) (ξ )(x −ξ )k −m =

n

k =m k!

n

k =m k! n

= (x −ξ )m b(x),b(ξ )≠ 0.

А это и означает, что корень ξ

кратности m

(см. (1)).

Теорема 2. Всякий многочлен n –й степени имеет ровно n корней,

pn (x). Тогда

Доказательство. Пусть ξ1

корень многочлена

( n -1)-й степени

pn (x)= (x −ξ1 )(x −ξ2 ) pn−2 (x). После n -го шага получим

n

pn (x)= (x −ξ1 )(x −ξ2 )K(x −ξn ) p0 = p0 ∏(x −ξi ).

(4)

i=1

Здесь p0 – многочлен нулевой степени, то есть константа.

Из (4) видно, что корней ровно n . Теорема доказана.

Учитывая, что корни могут быть кратными, (4) можно записать

так:

m

k1

k2

km

ki

′

pn (x)= (x −ξ1 )

(x −ξ2 )

K(x −ξm )

p0 = p0 ∏(x −ξi )

,

( 4 )

a

+ a x +K+ a

n−1

xn−1 + a

n

xn

= p

(x −ξ )(x −ξ

2

)K(x −ξ

n

).

(5)

0

1

0

1

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в

тождестве (5), получим

xn

a

n

= p

xn−1

0

(ξ +ξ

)

a

= −p

2

+K+ξ

n

n

−1

0

1

xn−2

a

= p (ξ ξ

2

+ξ ξ

+K+ξ ξ

n

)

(6)

n−2

0

1

1 3

1

M

a = (−1)n p ξ ξ

x0

Kξ

n

.

0

0

1 2

Равенства (6) выражают теорему Виета.

Теорема 3.

Если многочлен

p (x)=

n

xk

с действительными

∑ a

k

n

k =0

коэффициентами

ak имеет комплексный корень

ξ1 кратности

k1, то

многочлен

x2 − 2

в поле Q

рациональных чисел неприводим, но

приводим

в

поле

R

действительных

чисел,

так как

223

x2 − 2 = (x − 2 )(x +

2 ).

Многочлен x2 +1

неприводим

в

R , но

приводим в поле комплексных чисел C , так как

x2 +1 = (x −i)(x + i).

Согласно теореме

1 в

C неприводимыми

могут быть

только

многочлены первой степени.

Рассмотрим выражение

(x −ξ )(x −

)= x2 − 2 Reξx +

ξ

2 = x2 + px + q .

Получили

квадратный

ξ

pn (x)

m

S

(x2 + pi x + qi )li ,

= an ∏(x −ξi

)ki ∏

(7)

i=1

i=1

Разложение на

неприводимые

сомножители над

полем

′

комплексных чисел совпадают с ( 4 ):

p (x)

m

)

ki

+ k +K+ k = n .

(8)

= a ∏(x −ξ

, k

a

=

r

+

r

+K+

r

m

rj

.

(1)

1

2

m

= ∑

b

(x −ξ

)k1

(x −ξ

2

)k2

(x −ξ

m

)km

j=1

(x −ξ

m

)k j

1

Во множестве многочленов над полем комплексных чисел

простейшей дробью называют дробь вида

λ

(x −ξ )k

где λ,ξ – комплексные числа, k – натуральное.

Разложим одну из дробей

r

в (1) на простейшие. Для этого

(x −ξ )k

r (x)=

∑

1 r(i) (ξ )(x −ξ )i = j = k −i = ∑ 1

r(k − j) (ξ )(x −ξ )k − j =

k −1

k

i=0

j=1

i!

(k − j)!

= λ (x −ξ )k −1

+ λ (x −ξ )k −2

+K+ λ ,

λ

=

1

r(k − j) (ξ ).

(3)

(k − j)!

1

2

k

j

a

m

λj1

λj 2

λjk j

= ∑

+

+K+

+

k j

b j=1

(x −ξj )

2

(x

−ξj )

x −ξj

x + µik

S

λ

x + µ

i1

λ

x + µ

i2

λik

+

∑

i1

+

i2

+K+

i

i

.

(5)

x

2

+ p x + q

(x

2

+ p x + q )

2

(x

2

k

i

i=1

+ p x + q )

i

i

i

i

i

i

Пример. Разложить дробь

x3 − x2 + x +3

на

простейшие в поле действительных чисел.

Решение.

Разложим

знаменатель

на простейшие множители

x5 − x4 + 2x3 − 2x2 + x −1 = (x −1)

(

)

2 (использовали теоремуВиета):

x2 +1

x3 − x2 + x

+ 3

a

a x + a

a x + a

=

1

+

2

3

+

4

5

.

(

)

(

(x −1)

x

2

2

x −1

x2 +1

x

2

)

2

+1

+1

x4

0 = a + a

a =1

x3

1

2

1

1 = a − a

2

a

2

= −1

x2

3

−1 = 2a − a + a

2

+ a

4

a = 0

x

1

3

3

1 = −a2 + a3 − a4 + a5

a4 = −2

x0

3 = a − a − a

a = −2

1

3

5

5

чисел элементарные рациональные дроби – это дроби вида:

и

(x − x

)n

0

.

(х2 + px + q)n

226

Интеграл от

многочлена

легко

вычисляется.

Интеграл от

рациональной дроби

a

легко выражается через элементарные

(x − x

)n

0

a

функции.

При

n =1

имеем

∫

dx = a ln

x − x0

+ C.

При n >1

x

− x

a

a

0

∫

dx =

+ C.

(x − x

)n

(1

− n)(x − x0 )n−1

0

p

p

ах+b

x +

= t

a(t −

) +b