UML_4256

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(ln x)(n) = (−1)n−1

, (cos x)(n) = cos x +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

′	= −	1	,

Упражнение. Доказать, что (arccosx)		1− x2

′

(arcctgx)

= −

1+ x2

Если

y = F(U ),

а U =ϕ(x) ,

то

суперпозицию этих

функций

называют сложной функцией y = F (ϕ(x)).

Теорема 2. Если FU′ (U0 ) и U x′(x0 ) существуют, где U0 =U (x0 ) , то

существует и производная сложной функции

y = F (U (x))

в точке

x0 ,

причем

y′x (x0 ) = FU′(U0 ) U x′(x0 ) .

(3)

Доказательство. Так как функции U (x) и F(x) имеют

производные

точках

U0 =U (x0 )

соответственно, то и

непрерывны в этих точках (см. §7). Сложная функция

y = F (U (x))

непрерывна

точке

(см. теорему

2 §8

гл. 4),

поэтому

при

∆x → 0, ∆y → 0.

Функция F(U )

дифференцируема

точке

U0 ,

поэтому

∆y = FU′(U0 ) ∆U + o(∆U )

(см. §3).

∆y

= FU′(U0 )

∆U

o(∆U )

∆x

lim

∆y = FU′

(U0 ) lim

∆U

+ lim

o(∆U )

lim

∆U

= FU′ (U

0 ) Ux′(x0 ) + o .

∆x

∆ x→0

∆x

∆ x→0

∆ x

→0

∆U

∆ x→0

Итак,

′

Теорема доказана.

= yU Ux .

(3 )

Пример 3.

Найти

производную

степенной

функции

y = xµ , x > 0, µ R1 .

Решение.

y = xµ = eµ ln x

= eu ,

u = µln x

–

сложная

функция.

′

Воспользуемся (3 ) .

′

= e

(

′

= e

µ ln x

= µ x

µ−1

yx = yu ux

µ ln x)

Итак,

(xµ )′ = µ xµ−1.

161

Пример 4.

y = ln

= ln u, u =

сложная функция.

y′x = yu′ u′x =

sgnx =

sgnx

Итак,

)′ =

(ln

Пример 5.

y =U (x)V ( x)

= eV ( x) lnU ( x)

сложная функция.

′

lnU +

′

= yz zx = e

(V (x)lnU (x))x =U

U ).

Замечание 1. Теорема 2 верна и для большего числа суперпозиций функций.

Пример 5.	y = ln(sinx2 ) = lnU, U = sint, t = x2 .
y′x = yu′ Ut′ tx′ =	1	cost 2x =	2x cosx2	= 2xctgx2 .
	U		sinx2

Сведем все вычисленные выше производные в таблицу (таблицу выучить наизусть).

																					Таблица
																			′			1
		µ		′				µ−1		7.	(cosx)′ = −sinx								′			1
1.	(x		)		= µ x					7.	(cosx)′ = −sinx						13.	(arcctgx)		= −		1+ x2
1.	(x		)		= µ x												13.	(arcctgx)		= −		1+ x2
																		(shx)′ = chx
2.	(ax )′ = ax ln a									8.	(tgx)′ = sec2 x						14.	(shx)′ = chx
																		(chx)′ = shx
3.	(ex )′ = ex									9.	(ctgx)′ = −cosec2 x						15.	(chx)′ = shx
																		(thx)′ =		1
4.	(loga				x)′ =				1	10.		(arcsinx)′ =				1	16.			1
4.	(loga				x)′ =				x ln a	10.		(arcsinx)′ =			1− x2		16.		ch2 x
									x ln a						1− x2				ch2 x
					′	1						′				1		′		1
					′	1						′				1		′		1
5.	(ln			x	)	=				11.		(arccosx)	= −				17.	(cthx) = −
5.							x			11.			= −			1− x2	17.				sh2 x
							x									1− x2					sh2 x
6.	(sinx)′ = cosx											′		1
6.	(sinx)′ = cosx									12.		(arctgx) =	1+ x2
										12.		(arctgx) =	1+ x2

Замечание 2. Как видно из приведенных примеров, основные элементарные функции дифференцируемые. Из правил дифференцирования суммы, произведения, отношения, сложных функций следует, что любая элементарная функция имеет производную

162

в области определения и является элементарной функцией в области определения.

§6. Производная высшего порядка. Формула Лейбница

Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке этого интервала имеет производную f ′(x) . Так как производная f ′(x) является функцией, определённой на интервале (a,b) , то сама может иметь производную. Производная от производной

называется второй производной, или производной второго порядка. Обозначают её так:

y′′ = f ′′(x) = f (2) (x).

Аналогично можно ввести третью и так далее производную. n-я производная – это производная от (n −1) -й производной

f (n) (x) = ( f (n−1) (x))′.

Функция f (x) называется n-раз непрерывно дифференцируемой в

точке x, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой n -я производная непрерывна. Естественно, что (n −1) -я производная в

этой точке – функция дифференцируемая.

Пример 1.	y = xµ , µ R. y′ = µxµ−1, y′′ = µ(µ −1)xµ−1.
Очевидно	(xµ )(n) = µ(µ −1)(µ − 2)K(µ − n +1)xµ−n.
	(xµ )(n) = µ(µ −1)(µ − 2)K(µ − n +1)xµ−n.						(1)
Формулу можно доказать методом математической индукции.
В частности,		если			µ = m −натуральное, то (xµ )(m) = m !,		а
(xm )(n) = 0 при	n > m.
Пример 2.	y = ax ,			y′ = ax ln a, y′′ = ax ln2 a.
					(ax )(n) = ax lnn a.		(2)
(ex )(n) = ex .
Пример 3.	y = sin x ,					π
Пример 3.	y = sin x ,				y′ = cos x = sin x +	.
		π				2
y′′ = −sin x = sin		π	2
y′′ = −sin x = sin	x +	2	2	.
		2

163

y(n) = (sin x)(n)

– гипотеза.

= sin x

(sin x)

(n+1)

= (sin

(n)

′

n +

= sin x +

= cos x +

= sin x +

=sin x + π (n +1) .

Формула доказана методом математической индукции. Упражнения. Доказать, что

Очевидно, константу можно вынести за знак производной любого порядка, то есть

(cf (x))(n) = cf (n) (x).

Производная от суммы двух функций равна сумме производных, то есть

( f (x) ± g(x))(n) = f (n) (x) ± g (n) (x) ,

если последние существуют.

Найдём теперь n -ю производную от произведения двух функций. Докажем, что

n
(UV )(n) = ∑ CnkU (k )V (n−k ) ,	(3)
k =0

где U (0) =U (x). Формула (3) называется формулой Лейбница.

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции, предварительно отметив, что

Сk −1 +Ck = Ck+ . n n n 1

Проверим формулу (3) при n =1.

′

(0)

′

(1)

(UV )

=U V +UV

= C1 n V

+ C1 n V

– формула справедлива. Пусть (3) справедлива. Найдём (n +1)-ю

производную.

(UV )

(n+1)

(k )

(n−k ) ′

(k +1)

(n−k )

(k )

(n−k +1)

= ( ∑ CnU

V ) =

∑ CnU

+ ∑ CnU

k =0

(введём обозначение

k +1 = i в первой сумме)

n+1

= ∑ Ci−1U (i)V (n−i+1)

+ ∑CiU (i)V (n−i+1) =

∑ Ck −1U (k )V (n−k +1) +

i=1

i=0

k =1

164

+CnnU (n+1)V (0)			n
+CnnU (n+1)V (0)	+ Cn(0)U (0)V (n+1) + ∑ СnkU (k )V			(n−k +1) =
			k =1
	n	(Ck −1	+ Ck )U (k )V (n−k +1)	+ Cn+1U (n+1)V (0)	=
= C0 U (0)V (n+1) + ∑		(Ck −1	+ Ck )U (k )V (n−k +1)	+ Cn+1U (n+1)V (0)	=
n+1	k =1	n	n	n+1
	k =1

= n∑+1 Cnk+1U (k )V (n+1−k ) . k =0

Что и требовалось доказать.

Пример 4. Найти y(n) = (x2ex )(n) .

Решение. Воспользуемся формулой Лейбница.

(x2ex )(n) = Cn0 x2ex +Cn1 2xex + Cn2 2ex + 0 = (x2 + 2nx + n(n −1))ex .

§7. Производные высших порядков от сложной, неявной и параметрически заданной функций

Сложная функция F(x) = f (u(x)) дифференцируется по формуле

(3) §5

Fx′ = fu′ux .

Используя эту формулу и правило дифференцирования, найдем вторую производную.

F	″	′ ′ ′	f	″	(ux′)	2	′	2	″	.	(1)
F	2	= ( fu ux )x =	f	2	(ux′)		+ fu u	2		.	(1)
x			u				x

Аналогично можно найти все остальные производные.


			1		= (x ln x)−1 .
Пример 1. y = ln ln x ,			y′ =
Пример 1. y = ln ln x ,			y′ =	x ln x
	′′	−2		1+ ln x
y	′′	= −(xln x) (ln x +1) = − x2 ln2 x .
y		= −(xln x) (ln x +1) = − x2 ln2 x .
Пусть функции			x = x(t) и y = y(t)			(2)
			x = x(t) и y = y(t)			(2)

определены в некоторой окрестности точки t0 и пусть функция x(t) в этой окрестности имеет обратную t = t(x) . Тогда y = y(t(x)) – сложная

функция аргумента x . Переменную t называют параметром, а уравнения (2) называют параметрическим заданием функции y(x) .

Пример 2.	x = a cost,	t [0,2π ),	x	= cost,	y	= sin t.

			a		b
	y = bsin t,

165

x2	+	y2	=1 – эллипс. Таким образом, данная система функций
a2		b2

x(t) , y(t) параметрически задаёт сложную функцию, графиком которой

является эллипс.

x = acht , y = bsht , t R –

Упражнение.

Убедиться,

что

параметрическое задание гиперболы

−

=1.

x = r t

−

sin t

Пример 3.

t R .

y = r 1

−

cost

График этой функции называется циклоидой.

Найдём производную функции, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) . Используя правила дифференцирования

сложной и обратной функций и предполагая существование производных, получим:

′

′ ′

′

= yt xt′ .

Итак,

= yttx

′

y′x =

(3)

xt′

Аналогично получим и вторую производную

′ ′

″x

′ − x

″y

′

″x

′ − x &

″y

′

″ =

′

(4)

x ′

(x ′)3

′

(x ′)2

x = 2 cos t ,

Пример 4. Записать уравнение касательной к эллипсу

y = 4sin t в точке M0 (1,2

3).

83 3

166

Решение. Точке М0 соответствует значение параметра t0 = π3 .

Воспользуемся формулой (3). Получим

yx′ =

y ′

4cost

= −2ctgt

π = −

xt′

−2sin t

t0 = 3

y − y0 = y′x (x0 )(x − x0 )

– уравнение касательной, или

y − 2 3 = −

(x −1).

Найдём вторую производную данной функции в точке M0 .

″

′

yx2

= ( yt

(−2ctgt)t xt′

= −

)t xt′ =

= ± 2sin3 t

= −sin3 t

t =π 6

3 .

Функция

y(x) называется неявной (неявно заданной),

если она

заданна уравнением,

не

разрешенным относительно

y . Например,

3x − y + 3 = 0

– неявно заданная функция

y(x) , а

y = 3(x +1)

– явно

заданная эта же функция. Однако не всегда неявную функцию можно

записать в	явном виде. Например, уравнение xy +π cos xy = 0	в
окрестности точки (π,1) определяет функцию y(x) , однако не ясно,		как
её записать	в явном виде. Пусть F(x, y) = 0 определяет неявную

функцию y(x) в некоторой окрестности точки O(x,δ). Это значит, что

	F(x, y(x)) = 0 , x O(x,δ) .				(5)
Дифференцируя тождество (5) по x как сложную функцию, можно
′
найти y (x). Рассмотрим это на примере.				и y′′2 в точке
Пример 5. xy +π cos xy = 0			. Найти y′	и y′′2 в точке	x = π .
			x	x	0
Решение. y + xy	′		′	′	−π sin xy) =
Решение. y + xy		−π sin xy( y + xy ) = 0.		( y + xy )(1	−π sin xy) =

= 0. y + xy′ = 0.

y′ = − xy

x=π

y=1

′

− y

′′

′ ′

y x

= −

x=π

2 .

= ( y )

y=1

y′=− 1π

167

§8. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал первого порядка dy = y′(x)dx является функцией

двух переменных x и dx . Если x – независимая переменная функции f (x), то при нахождении дифференциала второго порядка, то есть

дифференциала от дифференциала d(dy) = d 2 y , дифференциал dx независимой переменной считается постоянной величиной (dx = const)

и его можно вынести за знак дифференциала или производной. В результате получим

y = d( f

′

′′

(x)dx) = ( f

(x)dx) dx = dx f (x)dx

f (x)(dx)

f (x)dx

(Для упрощения записи (dx)2

записывают как dx2 )

По индукции получим

d n y = d (d n−1 y) = d( f (n−1)(x)dxn−1 ) = f (n)(x)dxn .

(1)

Из (1) следует, что

d n y

(n)

(x) =

(2)

dxn

Отметим следующие свойства дифференциала n-го порядка:

а) d n (cu) = cd nu,

б) d n (u ± v) = d nu ± d nv,

в) d n (uv) =	n
в) d n (uv) =	∑ Cnk d k ud n−k v.
	k =0
Эти свойства непосредственно следуют из соответствующих
свойств производной.
Рассмотрим теперь сложную функцию y = F(u) , u = u(x).					По
определению дифференциала имеем
			′
		dy = Fxdx .
Используя правило дифференцирования сложной функции,
получим			′ ′	′
′	′	или dy =	′ ′	′
Fx	= Fuux	или dy =	Fuuxdx	= Fu du, где du = ux dx .
Итак,			′dx = F	′du .
		du = F	′dx = F	′du .	(3)
		x	u

Из (3) видно, что форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли переменная независимой или зависимой. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

168

Найдём теперь второй дифференциал от сложной функции y = F(u), u = u(x). Дифференциал dx независимой переменной по-

прежнему считается константой, но дифференциал промежуточной переменной du = u′(x)dx является функцией независимой переменной

x и выносить его за знак дифференциала нельзя.

Используя инвариантность первого дифференциала, найдём

d 2 y = d (dy) = d (F	′du) = d (F ′)du + F ′d(du) = F							2 ′′dudu + F		′d 2u.
u					u	u	u		u
Итак,				″du2		+ F ′d 2u .
d	2 y = F 2			″du2		+ F ′d 2u .				(4)
			u			u
Поскольку d 2u = u		2	″dx2		≠ 0,	то из (4)	видно,		что	второй
	x

дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. Не обладают этим свойством и все последующие дифференциалы.

Замечание. Разделим обе части (4) на dx2 , получим
	d 2 y		= F′2 (u	′)2	+ F	′u′	2	.	(5)
		2
	dx		u	x	u	x

Формула (5) совпадает с формулой (1)§7, то есть

d 2 y = y′′2 . dx2 x

169

ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§1. Возрастание функции в точке. Теорема Ферма

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 . Говорят, что функция возрастает в точке x0 , если существует

некоторая окрестность точки x0

O(x0 ,δ),

которой

функция

возрастает, то есть

x1 < x2 O(x0 ,δ ) f (x1 ) < f (x2 ).

Аналогично определяется убывание функции в точке.

Теорема 1. Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0

′

и f (x) > 0, то функция возрастает в точке x0 .

Доказательство.

′

f (x) − f (x0 )

′

f (x )

= lim

− f (x )

< ε

x O(x ,δ).

x − x

x→x0

f ′(x0 ) −ε <

f (x) − f (x0 )

< ε + f ′(x0 ).

x − x0

Возьмём ε < f ′(x0 ) , тогда

f (x) − f (x0 )

> 0

x O(x ,δ) .

(1)

x − x0

f (x) > f (x0 ) ,

если

x > x0 , и

Неравенство (1)

означает,

что

f (x) < f (x0 )

если x < x0 ,

то есть функция

f (x)

возрастает в точке x0 .

Теорема доказана.

f ′(x0 ) < 0,

то

функция

точке x0

убывает.

Очевидно, если

Доказательство аналогично.

Замечание 1. Условие f ′(x0 ) > 0 ( f ′(x0 ) < 0) – достаточное, для возрастания (убывания) функции в точке x0 . Но это условие не является необходимым. Например, функция y = x3 возрастает в точке x0 = 0 , но f ′(x0 ) = 0.

Определение. Функция y = f (x) достигает в точке x0	локального
максимума, если существует O(x0 ,δ) такая, что
f (x0 ) − f (x) ≥ 0 x O(x0 ,δ ) .	(2)
170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf