Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5016 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

§2. Геометрический и физический смысл производной

Пусть y = f (x) – функция непрерывная

yна интервале (a,b), M0 (x0 , y0 ) и M1 (x1, y1 ) – точки графика этой функции. Здесь

М1

y = f (x ), x = x + h ,

y = f (x + h).

М0

Проведем через точки M0 и M1 секущую (см.

рис.). Запишем уравнение секущей.

− x0

= y − y0 . y = y + y1 − y0 .

х0

х0+h

− x0

y1−y0

x1 − x0

(x − x0 ) = y0 + k(h)(x − x0 ) .

(1)

Здесь

y1 − y0

f (x0 + h) − f (x0 )

k(h) =

(2)

x − x

h → 0 в силу непрерывности

– угловой коэффициент секущей. При

функции

f (x) расстояние между точками M0

и M1

ρ(M

, M

) = ( y − y )2 + (x − x )2 = ( f (x + h) − f (x ))2

+ h2

стремится к нулю. Точка M1 по кривой приближается к точке M0 , а секущая поворачивается вокруг точки M0 . Ее предельное положение называют касательной к кривой, то есть к графику функции y = f (x) в точке M0 (x0 , y0 ). Тогда из (2) получим угловой коэффициент касательной


k = lim k(h) = lim		f (x0 + h) − f (x0 )		= f ′(x0 ) .	(3)

h→0	h→0		h
А из уравнения секущей получим уравнение касательной
y = f ′(x0 )(x − x0 ) + y0 .					(4)
Из рисунка видно, что угловой коэффициент секущей (2) равен
тангенсу угла ее наклона	к оси		0X , то есть	k(h) = tgα.	Так как

k(h) → f ′(x0 ) , то отсюда ясен геометрический смысл производной –

это угловой коэффициент	касательной	в	точке M0 .	Если
k = lim k(h) = f ′(x0 ) = +∞ или	f ′(x0 ) = −∞,	то	касательная	будет
h→0

перпендикулярна оси 0 X . Ее называют вертикальной касательной, а

151

точку (x0 , f (x0 ))	на кривой – точкой перегиба. Говорят, что функция
имеет в точке x0	бесконечную производную (см. рис.).
	у	у

	у0		у0
	0	х0	х	0	х0	х
Если левая	и правая		производные	в точке x0 бесконечности
разных знаков ( f+′(x0 ) = −∞,			f−′(x0 ) = +∞	или наоборот), то и в этом
случае прямую	x = x0	называют вертикальной				касательной, а	точку
(x0 , f (x0 )) на кривой называют точкой возврата графика функции							f (x)
(см. рис.).
	у				у
	у0

у0

0	х0	х	0	х0	х

Пример 1. Найти касательную к графику функции у = х2 + 4 х + 4 в точке x0 = 0 (см. рис.).

(x + 2)2 , x < 0,

Решение. y =

(x − 2)2 , x ≥ 0.

-2

152

f−′(0) = lim	f (h) − f (0)		= lim		(h + 2)2 − 4				= lim	h2 + 4h	= 4.
		h					h			h
h→−0				h→−0					h→−0
f+′(0) = lim		(h − 2)2 − 4		= lim		h2	− 4h	= −4.
		h					h
h→+0				h→+0

Так как функция не имеет производной в точке x0 = 0 , то не имеет и касательной в точке (0,4). Однако, есть левая и правая касательные в этой точке: у = −4х+ 4 и у = 4х+ 4 . Точка (0,4) графика функции называется угловой.

Пример 2. Найти касательную к графику функции у = 3 х в точке x0 = 0 .

Решение. f ′(0) = lim 3 h − 0 = +∞. x = 0 – вертикальная

h→0 h

касательная (см. рис. 5.7).

Пример 3. y = 3 x2 +1. Найти производную в точке x0 = 0 .

Решение. f ′(0) = lim 3 h2 +1−1.

h→0 h

f+′(x0 ) = +∞, f−′(0) = −∞.

Функция не имеет бесконечной производной в точке x0 = 0 , но

имеет вертикальную касательную. Точка (0,1) графика функции является точкой возврата (см. рис.).

0	х

153

Пусть S = S(t) – закон движения точки по траектории, то есть закон изменения пути S от времени t .

∆S

М0

Пусть в момент времени t0 точка находится в пункте M0 , а в момент времени t0 + ∆t в пункте M , то есть за время ∆t точка прошла путь, равный

∆S = S(t0 + ∆t) − S(t0 )

(см. рис.).

Величину

Vср = ∆∆St

называют средней скоростью движения точки на участке M0 M , а

V = lim	∆S	=	dS
	∆t		dt
∆t→0

называют величиной мгновенной скорости в момент времени t0 . Таким образом, одна из физических интерпретаций производной – скорость

движения точки.

l .

Пусть

m = m(l) – масса

стержня

длиной

Тогда

∆m = m(l +∆l) − m(l) – масса стержня длиной ∆l , а ρ

ср

∆m

− средняя

∆l

плотность участка стержня длиной

∆l .

ρ = lim

∆m

− линейная

∆l

(погонная) плотность стержня.

∆l→0

Пусть

Q(t) – количество электричества,

протекающее

через

поперечное

сечение

проводника

за

время

t .

Тогда

∆Q = Q(t +∆t) −Q(t) −

количество

электричества,

протекающее

за

время ∆t , i

= ∆Q − средний ток за время

∆t ,

а i = lim

∆Q

−

∆t

ср

∆t

∆t→0

мгновенный ток в момент времени t .

Можно привести и другие интерпретации производной. 154

§3. Дифференцируемость функции. Дифференциал

Определение 1. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой

окрестности точки x0	и х0 + h принадлежит этой окрестности. Функция
y = f (x) называется	дифференцируемой в точке x0 , если из ее

приращения в этой точке можно выделить главную линейную

относительно h = ∆x = x − x0	часть, то есть представить приращение
функции в виде
∆y = f (x0 + h) − f (x0 ) = Ah + o(h) .					(1)
Здесь A – некоторое число (оно может быть неодинаковым в разных
точках x0 ), а		o(h)
	lim	o(h)	= 0.
	lim		= 0.
	h→0 h
Определение 2. Линейная часть приращения функции в точке x0
называется дифференциалом функции в этой				точке. Обозначается
dy, df (x0 ), то есть
dy = Ah = A∆x.					(2)
Пример 1. Найти дифференциал функции y = x3 в точке x .
Решение. ∆y = (x + h)3 − x3 = 3x2h + (3xh2 + h3 ). 3x2h = dy,
A = 3x2 , 3xh2 + h3 = o(h).	Функция y = x3 ,			дифференцируемая	в

каждой точке области определения.

Теорема. Для того, чтобы функция имела производную в точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в

этой точке.
есть	Доказательство. Пусть производная в точке x0 существует, то
есть	f (x0 + h) − f (x0 )		∆y		∆y
lim	f (x0 + h) − f (x0 )	= lim	∆y	= f ′(x0 ).	∆y	= f ′(x0 ) +α(h).
h→0	h	h→0	h		h

∆y = f ′(x0 )h + hα(h). f ′(x0 )h = Ah − линейная часть приращения функции. Необходимость доказана.

Пусть теперь функция дифференцируемая, то есть справедливо

(1). Тогда из (1)

∆hy = A + o(hh) .

Переходя к пределу, найдем

155

lim	∆y	= A + 0. A = f ′(x0 ) ,	(3)
h→0	h

то есть производная существует. Достаточность доказана. Теорема доказана.

Если y = x , то ∆y = ∆x = h − линейная часть приращения, то есть

∆x = h = dx − дифференциал независимой переменной. Учитывая это и равенство (3), перепишем (2) так:

	dy	dy = df (x0 ) = f ′(x0 )dx .	(2′)
Из (2′) найдем, что	dy	= f ′(x0 ) , то есть производная функции есть
Из (2′) найдем, что	dx	= f ′(x0 ) , то есть производная функции есть
	dx

отношение дифференциалов функции и независимого аргумента.

Пример 2. Найти d(sinx) и d(ln x).

Решение. Согласно (2′), получим

d(sinx) =		′	= cosxdx,	′	dx
					x , x		> 0.
		(sinx) dx		d (ln x) = (ln x) dx =
Поскольку	∆x = x − x0 ,		а ∆y = f (x) − f (x0 ), то (1) можно переписать
так:			′				′

		f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) .					(1 )
Заметим,	что	y = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) – уравнение			касательной к
кривой f (x)		в точке (x0 , y0 ), а равенство				′	является
					(1 )
асимптотическим, то есть
		f (x)~ f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) при x → x0 .					(4)
Равенство (4) означает, что кривую				f (x) в окрестности точки x0 можно

заменить на отрезок касательной (линеаризовать). Погрешность при такой замене является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с ∆x = x − x0 в точке x0 .

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала.

∆у			В
∆у
	м0		dy
	м0	α
		α
		∆х	А	х

Из рисунка видно, что 0 х0 х0+ ∆х
Из рисунка видно, что 0 х0 х0+ ∆х
		156

AB = ∆x tgα = ∆x f ′(x0 ) = dy .

То есть, дифференциал функции f (x) в x0 – есть приращение ординаты

касательной к кривой f (x) в точке (x0 , y0 ).
Перепишем (1) в виде
∆y = f (x) − f (x0 ) = df (x0 ) + o(∆x). f (x) ~ f (x0 ) + df (x0 ) ,	(5)

то есть с точностью до бесконечно малой высшего порядка по

сравнению с ∆ х

значение функции

точке

х = х0 + ∆ х можно

вычислить, зная f (x0 ) и df (x0 ) .

Пример 3. Вычислить приближенно 5 1,02.

Решение. Рассмотрим функцию

′

−4 / 5

y =

x, y(1) =1, y (1)

= (

x=1

x=1 =

Воспользуемся (5).

f (1+ 0,02) = f (1) +∆y ~ f (1) + df (1) =1+ 15 0,02 =1,004.

Итак, 5 1,02 ≈1,004.

§4. Правила вычисления производной и дифференциала

Пусть функции U (x) и V (x) определены в некоторой окрестности

точки x0 .

Теорема. Если каждая из функций U (x) и V (x) имеют производную в точке x0 , то сумма, произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, причем

1)(U ±V )′ =U ′±V ′,

2)(UV )′ =U ′V +UV ′,

		′			′		′
3)	U		=	U V −UV				, V (x0 ) ≠ 0.

					V	2
	V				V

Доказательство. Докажем третье утверждение теоремы (первое и второе утверждения доказать самостоятельно).

Дадим приращение ∆ х аргументу, тогда функции U (x) и V (x) получат приращения ∆U и ∆V . Введем обозначение

157

Z (x) = U (x) V (x)

и найдем

∆Z = Z (x + ∆x) − Z (x ) =		U (x0 + ∆x)		−	U (x0 )	=	U (x0 ) + ∆U	−	U (x0 )	=

0	0	V (x0	+ ∆x)		V (x0 )		V (x0 ) + ∆V V (x0 )

∆U

∆V

V (x0 )∆U −U (x0 )∆V

∆Z

V ∆x

−U

∆x

V (x + ∆x)V (x )

∆x V (x

+ ∆x)V (x )

∆Z

′

d U

lim

U V −UV

∆x

∆x→0

dx V

Теорема доказана.

Следствие 1. Постоянную можно выносить за знак производной. Действительно, (CU )′ = C′U + CU ′ = CU ′, так как C′ = 0 .

Следствие 2. В условиях теоремы имеют место равенства

1)d (U ±V )= dU ± dV ;

2)d (UV )=UdV +VdU;

VdU −UdV

Докажем, например, 2).

′

)dx

′

d (UV )= (UV )

dx = (U V

+UV

=U Vdx

+UV dx =VdU +UdV ,

что и требовалось доказать.

Пример 1.

y = tgx. Найти производную.

Решение.

′

sinx ′

cos xcosx − sinx(−sinx)

(tgx)

= sec2 x.

cos

cosx

Пример 2. Функции shx =

(ex − e−x ), chx =

(ex + e−x ) называют

гиперболическими синусом и косинусом соответственно (см. рис.).

158

chx

shx

0 х

′

−x ′

x ′

1 ′

−ех

(shx)

− e

)

−

2 х

+ e

−x

′

= 2

) = chx. Аналогично найдем (chx) = shx.

′

shx

′

Упражнение. Доказать, что (thx)

chx ′

chx

′

(cthx)

= −

shx

Пример 3.

y = x3ex .

dy = (x3ex )′dx = (3x2ex + x3ex )dx = x2 (3 + x)exdx.

Или согласно следствию 2

d(x3ex ) = exd(x3 ) + x3d(ex ) = ex 3x2dx + x3exdx = x2 (3 + x)exdx.

§5. Производная обратной и сложной функций. Таблица производных

Теорема 1. Пусть функция y = f (x)		определена, непрерывна и
строго монотонна в окрестности точки x0		и пусть ее производная в
точке x0 существует и отлична от нуля,		f ′(x0 ) ≠ 0. Тогда обратная
функция f −1 ( y) также имеет производную в точке y			= f (x ) , причем
1		0	0

( f −1( y))′ =		.	(1)
	f ′(x0 )

Доказательство. Существование обратной функции x = f −1( y), непрерывной и строго монотонной в окрестности точки y0 = f (x0 )

гарантирует теорема 3 §11 главы 4. Поэтому условия

∆x = x − x0 → 0 и ∆y = y − y0 → 0

159

эквивалентны и так как обе функции строго монотонны, то ∆x ≠ 0 и ∆y ≠ 0 . Запишем тождество

∆x

(2)

∆y

Переходя к пределу, имеем

∆x

lim

∆x

∆y

f ′(x0 )

∆ y→0

lim

∆ x→0

∆x

Так как предел правой части существует, то существует и предел

левой части, то есть

∆x = ( f −1 ( y))′y =

lim

f ′(x0 )

∆ y→0

∆y

Теорема доказана.

Равенство (1) можно записать в симметричной форме

′

(1 )

y′x

Индекс показывает, по какой переменной берется производная.

[

]

Пример 1.

y = arcsinx,

′

x −1,1 . Найти y

Решение.

x = siny,

y [−π / 2,π / 2].

′

Согласно (1 ) имеем

y′x =

x′y

cosy

1 − sin2 y

(siny)′y

1− x2

Итак,

′

(arcsinx)

Пример 2.

y = arctgx, x (−∞,∞).

1− x2

x = tgy,

y [−π / 2,π / 2]

y′x

= cos2 y

(tgy)′

+tg2 y

+ x2

x′y

Итак,

′		1
(arctgx)	=			.
			1+ x2

160

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 5016 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf