UML_4256

a

a

αn = ±nm+1

n , βn = ±nm+1

n

b

b

n

n

εn

εn

α2

+ β2 = ε

n

= nm+1 a2 +b2

a

≤

и

b

≤

.

Что и

n

n

n

n

n

nm+1

n

nm+1

требовалось доказать.

Смысл следствия 3 в следующем: чем выше степень гладкости

функции

f (x),

тем быстрее

убывают

ее

коэффициенты

Фурье.

(Сравните коэффициенты рядов для функций

f1 (x) ,

f2 (x) и

f3 (x) в

§10).

f (x)

Теорема 2.

Если функция

периодическая,

кусочно-гладкая

Следствие. Если f (x) L1

(−∞, +∞) , то lim

∞

∫ f (x)cosωx dx = 0 ,

ω→∞ −∞

lim

∞

∫ f (x)sinωx dx = 0.

ω→0

−∞

492

Говорят,

что функция

f (x)

удовлетворяет в точке x условию

Дини, если существует интеграл

l

f (x +t) − f (x)

dt .

(5)

∫

t

−l

Можно убедиться, например, что условие Дини выполняется, если

функция удовлетворяет условию Липшица порядка α

f (x + t) −t(x)

≤ c

t

α , 0 <α ≤1, c = const .

(6)

В частности, если функция имеет конечные левую

f−′(x) и правую

f+′(x) производные в точке x ,

то выполняются условия Липшица при

α =1.

f (x) L1 (−∞, +∞)

Теорема

2.

Если

функция

и

удовлетворяет

1

∞

f (x) =

∫

f (ω)eiωx dω .

(7)

2π

−∞

Здесь f (ω)

f (x)

понимается полусумма левого и правого пределов:

f (x) =

1

( f (x − 0) + f (x + 0)) .

2

Доказательство.

Поскольку функция

непрерывна

(см.

f (ω)

теорему 1), то существует интеграл

1

1

l

(1)

l

∞

fl (x) =

∫

f (ω)eiωxdω =

∫ dω ∫ f (u) eiω( x−u)du .

(8)

2π

2π

−l

−l

−∞

Так как интеграл (1) сходится равномерно, то в (8) можно

поменять порядок интегрирования. Тогда

1

∞

l

fl (x)

=

∫ f (u) du ∫ eiω( x−u)dω =

2π −∞

−l

1

∞

eil( x−u)

−e−il( x−u)

1

∞

sin(x −u)l

=

∫ f (u)

du =

∫ f (u)

du =

2π

i(x −u)

π

x −u

−∞

−∞

=

x −u = −t

= 1 ∫

f (x + t) sin(lt) dt.

(9)

∞

π −∞

t

Известно, что

1

∞ sin(lt)

dt =

1

∞

sin(lt)

d(lt) = sgn l .

(10)

∫

∫

π

t

π

et

−∞

−∞

(см.§10 гл. 8). Умножая (10) на f (x)

и вычитая результат из (9) (считая

l = a > 0 ), получим

1

∞

f (x +t) − f (x)

fl (x) − f (x) =

sin nt dt =

∫

π

t

−∞

=

1

∫

f (x +t) − f (x)

sin nt dt

+

1

∫

f (x +t)

sin nt

dt −

π

t

≤T

t

π

t

≥T

t

−

1

f (x) ∫

sin nt

dt.

(11)

π

t

≥T

t

f (x) и условия Дини следует, что

Из ограниченности функции

Фурье для функции ϕ (t) =

(см. теорему 2

§12,

здесь

t

l = n считаем натуральным).

1

f (x + t) − f (x)

sin nt dt

=

T 1

T f (x + t) − f (x)

sin nt dt

=

T

bn .

∫

∫

π

t

≤T

t

π T

−T

t

π

Согласно неравенству Бесселя bn → 0при

n = l → ∞,

поэтому первый

интеграл в правой части (11)

можно сделать меньше

ε

3

при достаточно

также можно

сделать

меньше

ε

3

при

достаточно большом T и

произвольном l >1. Это следует из сходимости интеграла (10).

Итак, из (11) следует

fl (x) − f (x)

< ε

при l > N . Это и означает,

1

l

1

∞

что f (x) = lim

∫

f (ω) eiωx dx =

∫

f (ω) eiωx dx . Теорема доказана.

2π

2π

l→∞

−l

−∞

Интеграл

(7)

называют

обратным

преобразованием

Фурье.

Формула (7) позволяет по образу Фурье f (ω) восстановить прообраз

f (x).

Подставляя (1) в (7), получим

1 ∞

∞

f (t)eiω ( x−t ) dt .

f (x) =

∫

dω ∫

(12)

2π −∞

−∞

Сравним

прямое

и

обратное

преобразования

Фурье

∞

1

∞

f (ω) = ∫

f (x) e−iω x dx ,

f (x)

=

∫

f (ω)eiω x dω с рядом

Фурье в

−∞

2π −∞

1

l

−

ikn x dx ,

∞

комплексной форме записи cn

=

∫ f (x)e

f (x) =

∑ cneikn x .

2l −l

n=−∞

Из

сравнения видно,

что

образ

Фурье

соответствует

f (ω)

коэффициенту

Фурье

cn .

Суммирование

по

дискретным

частотам

kn =

π n заменяется интегрированием по параметру ω . Таким образом,

l

f (x)

периодическая

с

периодом

2l ,

то она

если

функция

–

f (ω)