UML_4256

Поскольку предел lim xn = x0 единственный, то лемма доказана.

n→∞

Теорема (Вейерштрасс). Бесконечное ограниченное множество Е действительных чисел имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Доказательство. Пусть Е – бесконечное ограниченное множество действительных чисел. Тогда найдем некоторый отрезок [a,b], содержащий множество Е, то есть E [a,b] (см. рис.).

E

а b

Разделим отрезок [a,b] пополам. Тогда, по крайней мере, одна из

половинок содержит бесконечное множество точек множества Е. Обозначим эту половину σ1 . Разделим теперь отрезок σ1 пополам и

опять половину, содержащую бесконечное множество точек множества Е, обозначим σ2 . Продолжая этот процесс, получим

последовательность вложенных отрезков {σn }, каждый из которых

содержит бесконечное множество точек множества Е. Длина n-го отрезка

при достаточно большом n найдется отрезок σn , содержащийся в этой окрестности, то есть σn O (x0 ,ε ). Поскольку отрезок σn содержит бесконечное множество точек множества Е, то и окрестность O (x0 ,ε )

содержит бесконечное множество точек множества Е. Это и означает, что x0 – предельная точка множества Е. Теорема доказана.

§6. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы последовательности

Пусть {xn } – произвольная последовательность в метрическом пространстве. Рассмотрим некоторую возрастающую

61

последовательность натуральных чисел k1,k2 ,k3 ,...,kn ,.... Выберем из последовательности {xn } ее элементы с номерами kn и составим из них новую последовательность xk1 , xk2 , xk3 ,..., xkn ,.... Эту последовательность называют подпоследовательностью последовательности {xn }.

Если подпоследовательность xkn сходится, то ее предел называют частичным пределом последовательности {xn }.

последовательности действительных чисел {xn }. Если Е – конечное, то существует, по крайней мере, одна точка x1 E , которая повторяется в

последовательности бесконечное число раз. Тогда стационарная последовательность x1, x1, x1,..., подпоследовательность

последовательности {xn }, сходится. Если Е – бесконечное, то по

теореме Вейерштрасса множество Е имеет, по крайней мере, одну предельную точку x0 R . Возьмем окрестности предельной точки вида

62

последовательности {xn } и получим подпоследовательность {xkn } последовательности {xn }. Теорема доказана.

Замечание. Если последовательность {xn } действительных чисел

неограниченная, то из нее можно выделить бесконечно большую подпоследовательность. Ее предел, +∞ или −∞, также будем считать частичным пределом последовательности {xn }. С учетом этого

замечания любая числовая последовательность имеет частичный предел, конечный или бесконечный.

Пусть G – множество частичных пределов (конечных или бесконечных) числовой последовательности {xn }. Тогда supG

называют верхним пределом последовательности {xn } и обозначают supG = lim xn , а inf G = lim xn называют нижним пределом последовательности {xn }.

Так как в расширенном множестве действительных чисел R верхняя и нижняя грани множества всегда существуют и единственны (см. §7 гл.1), то всегда существует нижний и верхний пределы последовательности {xn } действительных чисел.

то сходящимися подпоследовательностями могут быть только стационарные последовательности. Множество значений E и будет множеством G частичных пределов, E = G . Наименьшее из чисел

Очевидно, G ={1,2,0} limxn = 0, limxn = 2.

Пример 3. Пусть {xn } – последовательность всех рациональных

чисел. Тогда

G = (−∞, +∞). limxn = −∞, limxn = +∞.

§7. Фундаментальные последовательности

Определение 1. Последовательность {xn } в метрическом пространстве Х называется фундаментальной (последовательностью

Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве Х является фундаментальной.

Доказательство. Если последовательность {xn } сходится к точке

Это и означает фундаментальность последовательности {xn }. Теорема

доказана.

Итак, всякая сходящаяся в метрическом пространстве X последовательность является фундаментальной, но не всякая фундаментальная последовательность является сходящейся.

Пример 1. Рассмотрим последовательность

64

m−1

– это число можно сделать меньше любого ε , взяв достаточно большое m .

Это и означает, что последовательность {xn } – фундаментальная.

Определение 2. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится, называется полным.

Теорема 2. Метрическое пространство действительных чисел R полное.

Доказательство. Теорема будет доказана, если докажем, что любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится к действительному числу. Пусть {xn } – произвольная

фундаментальная последовательность действительных чисел. Тогда (1) выполняется для любых ε > 0 . Положив ε =1, получим

Последнее неравенство означает, что последовательность {xn }∞n=N1

ограничена. А поскольку множество значений последовательности {xn }

бесконечное (следует из ее фундаментальности), то множество значений последовательности согласно теореме Вейерштрасса, имеет предельную точку x0 . А согласно теореме 4 §1, существует

65

xkn − x0 + xn − xkn = xn − x0 < ε n ≥ N .

Это и означает сходимость последовательности {xn }. Теорема доказана. Замечание. Учитывая теорему 3 §2, можно доказать, что метрическое пространство R2 комплексных чисел с метрикой

ρ (z1, z2 )= z1 − z2 также полное.

Теоремы 1,2 называют критерием сходимости Коши для числовых последовательностей. С учетом замечания, критерий сходимости Коши можно сформулировать так: для того, чтобы последовательность комплексных чисел была сходящаяся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Пользуясь этими теоремами, можно доказать сходимость или расходимость числовой последовательности.

Пример 2. Исследовать на сходимость последовательность

Sn =1 + 12 + 13 +... + 1n .

Решение. Положим ε = 14 и n = 2m .

Тогда

Sn − Sm = S2m − Sm = m1+1 + m1+ 2 +... + m +1 m > m m +1 m = 12 .

Итак, не выполняется условие

66

расходится. Самостоятельно.

67

ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

§1. Понятие ряда. Свойства сходящихся рядов с комплексными членами

Рассмотрим последовательность действительных или комплексных чисел {un }∞n=1 . Формально составленная сумма из всех членов этой последовательности

∞

u1 + u2 +... + un +... = ∑ un (1)

n=1

называется числовым рядом, un называется n-м членом ряда. Сумма первых n членов ряда

n

Sn = u1 + u2 +... + un = ∑ uk (2)

k =1

называется частичной суммой ряда.

Рассмотрим последовательность частичных сумм {Sn } ряда (1).

Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится

последовательность его частичных сумм (2). При этом, если lim Sn = S ,

n→∞

∞

то число S называют суммой ряда (1). Пишут S = ∑ un .

n=1

Если последовательность частичных сумм {Sn } предела не имеет

или он равен бесконечности, то ряд называют расходящимся. При этом, если последовательность {Sn } бесконечно большая, то пишут

∞

∑ un = ∞ .

n=1

Итак, всякому ряду (1) соответствует последовательность его частичных сумм {Sn }. Наоборот, всякую последовательность {zn }

можно рассматривать как последовательность частичных сумм

∞

некоторого ряда ∑un . Действительно, положим

n=1

u1 = z1, u2 = z2 − z1,..., un = zn − zn−1 .

Тогда

Sn = u1 +u2 +... +un = z1 + z2 − z1 +... + zn − zn−1 = zn , 68

то есть последовательность {zn } является последовательностью

∞

частичных сумм ряда ∑un , где un = zn − zn−1. Отсюда следует, что

n=1

всякое утверждение о сходимости ряда можно перефразировать в терминах сходимости последовательности и наоборот.

Ряд, составленный из членов ряда (1), начиная с (n +1)-го без

изменения порядка следования членов ряда, называется n -м остатком ряда (1)

Исследуем его на сходимость.

Рассмотрим последовательность его частичных сумм

Sn =1 + 12 + 13 +... + 1n .

Эта последовательность расходится (см. пример 2 §7 гл. 2). Следовательно, гармонический ряд расходится.

∞

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∑ zn , здесь z –

n=1

некоторое комплексное число.

69

n=1

при z <1, то есть в единичном круге комплексной плоскости.

Рассмотрим свойства сходящихся рядов, члены которых могут быть комплексными числами.

σn =αSn n N .

70