UML_4256
.pdfТеорема (признак Дирихле-Абеля). Ряд (2) сходится, если
|
|
|
последовательность Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||||||||||||||
1) |
частичных сумм ряда ∑ ak |
ограничена; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
последовательность bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
||||||||||||||||
монотонно убывающая бесконечно малая, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
есть bk +1 ≤ bk и |
|
|
|
|
|
|
|
lim b |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
→∞ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Доказательство. Ограниченность последовательности Sn |
|||||||||||||||||||||||||||||
означает, что существует число M > 0 такое, что |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
< M n N . |
|
|
|
(4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
могут быть комплексными, но bk – |
||||||||
|
|
|
|
|
Заметим, что члены ряда ∑ ak |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
действительные неотрицательные числа. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Предел (3) можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ b < |
|
|
ε |
n > N |
|
. |
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2M |
|
|
|
|
|
||||
Здесь ε > 0 – произвольное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
так: |
Применим к ряду (2) критерий Коши (см. §2), который запишем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ ak bk |
|
< ε |
n > Nε и p N . |
(6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Если докажем (6), то докажем теорему. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Используя тождество Абеля (1) и тот факт, что модуль суммы не |
|||||||||||||||||||||||||||||
больше суммы модулей, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n+ p |
|
|
|
|
|
n+ p−1 |
(bk −bk +1 )+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∑ ak bk |
|
≤ |
∑ |
|
Sk |
|
Sn+ p |
bn+ p + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
k =n |
|
|
|
|
|
k =n |
n+ p−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
|
S |
|
|
b |
≤ M |
(b −b |
|
) |
|
+ b |
|
|
|
+ Mb . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n−1 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k +1 |
|
|
|
n+ p |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n+ p−1 |
Упростим выражение в скобках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(bk −bk +1 )+bn+ p = bn −bn+1 |
+ bn+1 |
−bn+2 +... + bn+ p−1 −bn+ p + |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∑ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k =n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+bn+ p = bn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Учитывая это равенство и неравенство (5), запишем (7) так: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ a b |
≤ 2Mb |
< 2M |
= ε n > N |
|
и p N . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =n |
|
k k |
|
|
|
n |
|
|
|
|
2M |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Последнее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
означает, что критерий Коши (6) выполняется. Теорема |
|||||||||||||||||||||||||||||
доказана. |
|
|
|
|
Признак |
сходимости |
|
Лейбница (см. §7) является |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Следствие. |
|
частным случаем признака Дирихле-Абеля. Действительно, положим в
(2) ak = (−1)k . Тогда
91
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, n = 2m, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, n = 2m +1. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Как видно, последовательность Sn ограниченная и все требования |
|||||||||||||||||||||||||||
теоремы выполняются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Пример. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 1 |
eikx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
(8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k =1 k |
|
|
cos kx |
∞ sin kx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. Запишем ∑ |
|
eikx = ∑ |
|
+ i ∑ |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 k |
|
|
|
k |
=1 |
k =1 |
|
|
|
|
|||||||
Согласно теореме 2 §2 гл.2 из сходимости ряда (8) следует сходимость |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
cos kx |
, |
∞ |
|
sin kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рядов ∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
Воспользуемся признаком Дирихле-Абеля. Положим |
b = |
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
n |
|
e |
ix |
−e |
i(n+1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
n |
= ∑ eikx = |
|
|
|
|
|
– как |
|
|
сумма |
членов |
|
геометрической |
|||||||||||||||
|
|
|
1−eix |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
прогрессии. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
≤ |
|
|
|
|
n N . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−eix |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, все требования теоремы выполняются. Данный ряд сходится для всех x не равных 0;±2π;±4π;....
§9. Степенные ряды
Пусть задана последовательность комплексных чисел {cn }. Ряд
∞
∑ cn zn , (1)
n=0
где z = x + iy – комплексное число, называется степенным рядом.
При cn =1 он превращается в ряд геометрической прогрессии
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|||
∑ zn . Как известно (см. §1), |
ряд ∑ zn сходится в круге |
z |
<1 и |
|||||||
n=0 |
|
|
|
n=0 |
|
|
||||
расходится вне его. С каждым степенным рядом (1) также связан круг |
||||||||||
(круг сходимости), радиус которого можно определить формулой |
|
|||||||||
R = |
|
|
1 |
|
|
. |
|
(2) |
||
|
|
|
|
cn+1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
92 |
|
|
|
|
|
При этом, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn+1 |
|
= ∞, |
|
|
то |
|
|
|
R = 0 . |
R называется радиусом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сходимости степенного ряда (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Докажем это утверждение, предполагая, |
что lim |
|
|
|
существует. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
cn+1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
cn+1 |
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема. Степенной ряд (1) сходится, если |
|
z |
|
< R , |
и расходится, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если |
|
z |
|
> R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
|
|
|
предельным |
|
|
признаком |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Даламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
= |
z |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
z |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c zn |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 1. Найти радиус сходимости ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑ n!zn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Согласно формуле (3), имеем |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R = lim |
|
|
cn |
|
= lim |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ (n +1)! |
|
|
|
|
|
n→∞ n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ряд сходится в одной точке |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. Найти радиус сходимости ряда |
∞ |
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
cn |
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
R = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
= ∞. |
Ряд |
|
сходится во |
|
всей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
комплексной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 3. Найти радиус сходимости ряда ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. |
R = lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
=1. |
|
|
Ряд сходится в круге |
|
z |
|
<1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
и расходится вне его. |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=1. |
||||||||||||||
Исследуем |
сходимость |
|
этого |
ряда |
на |
|
окружности |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Очевидно, при z =1 ряд расходится. Пусть |
|
z |
|
|
=1, |
|
но z ≠1. Представим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ a b |
= ∑ zk 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|||||||||||||||||
Покажем, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
что последовательность частичных сумм ряда ∑ a |
= ∑ zk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k =1 |
|
ограничена. Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Sn = ∑ zk = z + z2 +... + zn = z − z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− z |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
ρ(Sn ,0)= |
|
Sn |
|
= |
|
z |
− zn+1 |
|
= |
|
z |
|
|
1− zn |
|
< |
2 |
|
|
n N . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1− z |
|
|
|
|
|
|
1− z |
|
|
|
|
|
1− z |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Это и означает ограниченность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Sn (см. §14 гл.1). Последовательность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{b }= |
1 |
|
, монотонно убывая, стремится к нулю. Таким образом, все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
условия теоремы Дирихле-Абеля выполняются, следовательно, данный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд сходится во всех точках окружности |
z |
=1, |
исключая одну точку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§10. Свойство коммутативности абсолютно и условно сходящихся рядов
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
Пусть ряд ∑ uk = S (1) – сходится, а ряд ∑ vk (2) получен из (1) |
||
|
|
k =1 |
k =1 |
|
произвольной перестановкой членов этого ряда. Возникает вопрос, |
||||
сходится ли ряд (2), а, если сходится, то будет ли его сумма равна S. |
||||
|
|
Рассмотрим сначала случай ряда с неотрицательными членами. |
||
uk |
≥ |
Теорема 1 (Дирихле). Если |
члены ряда (1) неотрицательные, |
|
0 , то ряд (2) сходится и его сумма равна S. |
|
|||
|
|
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы рядов (1) и (2) |
||
|
|
Sm = u1 +u2 +... + um , |
|
|
|
|
σn = v1 |
+ v2 +... + vn . |
|
|
|
Каждое из слагаемых суммы σn является членом ряда (1). |
||
Выберем m настолько большим, чтобы все слагаемые суммы σn |
вошли |
|||
в сумму Sm . Так как слагаемые неотрицательные, то очевидно |
|
|||
|
|
σn ≤ Sm ≤ S или σn ≤ S . |
(3) |
|
|
|
Таким образом, частичные суммы ряда (2) ограничены и |
||
монотонно возрастающие (vn ≥ 0 ), |
следовательно, последовательность |
|||
{ |
n } |
сходится. Переходя к пределу в (3), получим |
|
|
σ |
|
|
||
|
|
lim σn =σ ≤ S . |
(4) |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
Если ряды (1) и (2) поменять местами, то есть считать, что ряд (1) |
получен из (2) перестановкой членов, то аналогично рассуждая, получим S ≤σ . Следовательно, σ = S и теорема доказана.
Пусть теперь ряд (1) знакопеременный. 94
Теорема 2. Если ряд (1) сходится абсолютно, то ряд (2) сходится и его сумма равна сумме ряда (1).
Доказательство. Положим
|
u |
k |
, u |
k |
≥ 0, |
uk − = |
−u |
k |
, u |
k |
≤ 0, |
|
|||||
uk + = |
|
|
|
|
|
|
0. |
(5) |
|||||||||
Очевидно, uk + |
0, uk < 0, |
|
|
|
|
0, uk > |
|
||||||||||
,uk − неотрицательные, причем |
|
||||||||||||||||
|
uk |
|
= uk + −uk − , а |
|
uk |
|
= uk + +uk − . |
(6) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично введем |
v + |
,v −, |
|
v = v + |
−v |
− |
для ряда (2). |
|
|||||||||
|
k |
|
|
k |
|
k |
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ряды с неотрицательными членами |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑uk + , |
∑uk − . |
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти ряды получаются из ряда (1), если выбрать только положительные
его члены или только отрицательные, но с противоположным знаком.
Так как uk |
+ ≤ |
|
uk |
|
, uk − ≤ |
|
uk |
|
|
, а ряд (1) сходится абсолютно, то по |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
первому признаку |
|
сравнения ряды (7) сходятся. Поскольку сходящиеся |
||||||||||||||
ряды |
можно |
|
|
|
|
складывать |
|
|
(см. §1 теорема 2), |
то |
имеем |
|||||
∞ |
(6) ∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
− (теорема Дирихле)= |
|
|||
S = ∑ uk = ∑ (uk |
+ −uk − )= ∑ uk + − ∑ uk |
|
||||||||||||||
k =1 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
||
∞ |
∞ |
|
∞ |
(vk + −vk − )= |
|
|
∞ |
|
|
|
||||||
= ∑ vk |
+ − ∑ vk − = ∑ |
∑ vk . |
|
|
|
|||||||||||
k =1 |
k =1 |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды обладают коммутативным свойством.
Замечание 1. Можно доказать, что ряд (2) сходится абсолютно, если (1) абсолютно сходится.
Замечание 2. Теорема справедлива и в том случае, когда члены uk
ряда (1) комплексные числа (без доказательства).
Замечание 3. Так как ряды (7) сходятся, то по необходимому признаку сходимости uk + → 0, uk − → 0 при k → ∞.
Следствие. Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости знакопеременного ряда является сходимость рядов, составленных из положительных и отрицательных его членов.
Доказательство. Необходимость доказана в теореме 2. Докажем достаточность. Пусть ряды (7) сходятся. Так как сходящиеся ряды можно почленно складывать, то
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
uk |
|
∑uk + |
+ ∑uk |
− = ∑ |
(uk + +uk − )= (6)= ∑ |
. |
|
k =1 |
k =1 |
k =1 |
k =1 |
|
|
Следствие доказано. |
|
|
|
|
|
Лемма. Если ряд (1) сходится условно, то оба ряда (7) расходятся. |
|||||
Доказательство. Сходиться оба ряда (7) не могут, так как в этом |
случае, согласно следствию, ряд (1) сходился бы абсолютно. Пусть один из рядов расходится, а другой сходится, например,
∞ |
+ = +∞ (uk |
+ ≥ 0). |
∑uk |
||
k =1 |
|
|
|
95 |
|
Так как uk = uk + −uk − , то
|
n |
n |
n |
|
|
∑uk = |
∑uk |
+ − ∑uk |
− (частичная сумма) |
|
k =1 |
k =1 |
k =1 |
|
|
n |
n |
n |
|
или |
∑ uk − = −∑ uk + ∑ uk + . |
|||
|
k =1 |
k =1 |
k =1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
Переходя к пределу, получим |
∑ uk − = +∞ − S , |
||
|
|
|
|
k =1 |
то есть и второй ряд (7) расходится, S1 = ∞. Лемма доказана. |
||||
|
Теорема 3 (Риман). Если ряд (1) сходится условно, то можно так |
переставить члены этого ряда, что он будет сходиться к любому |
||||
наперед заданному числу l . |
l > 0. Возьмем минимальное число |
|||
|
Доказательство. |
Пусть |
||
положительных членов ряда (1), но чтобы их сумма была больше l , то |
||||
есть |
u + +u + +... + u |
+ > l . |
|
|
|
1 |
2 |
k1 |
|
96
∞ |
+ = +∞. Затем допишем |
Это всегда можно сделать, так как ∑ uk |
|
k =1 |
|
минимальное число отрицательных членов, чтобы сумма стала меньше l, то есть
u1+ + u2+ +... + uk1+ −u1− −u2− −... −um1− < l .
∞ |
− = +∞. |
Это также всегда можно сделать, так как ∑ uk |
|
k =1 |
|
Затем опять добавим столько положительных членов, чтобы сумма вновь стала больше l, то есть
u |
+ + u + +... + u |
k1 |
+ −u |
− −u − −... −u |
− + u |
+ +... + u |
+ > l . |
1 |
2 |
1 |
2 |
m1 |
k +1 |
k 2 |
Затем снова допишем столько отрицательных членов, чтобы сумма вновь стала меньше l, то есть
u1+ + u2+ +... + uk1+ −u1− − u2− −... − um1− + uk +1+ +... + uk 2+ − um1+1− − −um1+2− −... −um2− < l .
Продолжая этот процесс, мы выпишем все члены ряда (1). Если всякий раз приписывать чисел не больше, чем необходимо для осуществления требуемых неравенств, то отклонение частичных сумм от числа l будет не больше, чем модуль числа, приписанного последним, то есть
|
|
|
|
|
Sk |
n |
+m |
|
< uk± |
+m . |
(8) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
|
Так как |
uk± |
+m → 0 при |
n → ∞ (см. замечание 3), то из (8) следует |
||||||||
lim Sk |
|
+m = l |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(если l < 0, то процесс аналогичный). |
|
|||||||||
n→∞ |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь взять произвольную последовательность частичных сумм Sn , то она будет располагаться между частичными суммами
Skn +mn , и по теореме о двух милиционерах будет иметь предел, равный
l. Теорема доказана.
Замечание 4. Теорема Римана справедлива и в том случае, если под l понимать ±∞.
∞ |
(−1)n−1 |
1 |
= ln 2 . |
|
Пример. Известно, что ∑ |
||||
n |
||||
n=1 |
|
|
Так как для сходящегося ряда справедлив ассоциативный закон, то имеем
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
ln 2 = 1 |
− |
|
|
+ |
|
− |
|
|
+... + |
|
|
− |
|
|
+... |
2 |
3 |
4 |
2n −1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
или
97
|
Sn |
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, Sn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
→ ln 2 при n → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2k −1 |
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Переставим и сгруппируем члены данного ряда следующим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1− |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
+.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
4 |
|
3 |
6 |
|
|
|
2n − |
1 |
4n − |
2 |
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Sn* = |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 n |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
Sn . |
|||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
∑ |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
||||||
|
2k − |
1 |
4k − 2 |
|
|
|
4k − |
2 |
|
4k |
|
2k −1 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
4k |
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
2 k =1 |
|
|
2k |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim Sn* = |
1 |
lim Sn |
= |
|
1 |
ln 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
2 n→∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, перестановкой членов ряда мы уменьшили сумму ряда в два раза.
§11. Умножение рядов. Деление степенных рядов. Двойные и повторные ряды
Рассмотрим два сходящихся ряда
∞ |
∞ |
∑ai = A (А) и |
∑ bk = B (В). |
i=1 |
k =1 |
A и B – сумма этих рядов и обозначение рядов.
По аналогии с произведением конечных сумм перемножим эти
∞ |
∞ |
|
. Результат этого перемножения можно представить |
ряды ∑ai ∑ bk |
|||
i=1 |
k =1 |
|
|
в виде прямоугольной бесконечной таблицы (матрицы)
a1b1 |
a1b2 |
a1b3 |
... a1bk ... |
|
a2b1 |
a2b2 |
a2b3 |
...a2bk ... |
|
a3b1 |
a3b2 |
a3b3 |
...a3bk ... |
(1) |
... |
... |
... ... ... ... |
|
aib1 aib2 aib3 ...aibk ...
Каждому элементу этой матрицы aibk = uik можно сопоставить рациональное число ki , то есть установить биекцию. А так как множество рациональных дробей счетное, то все элементы матрицы (1)
98
можно заново пронумеровать, то есть представить ее в виде простой последовательности, а затем составить числовой ряд
∞ |
|
|
|
|
∑ ai bk |
. |
|
(2) |
|
s=1 |
s |
s |
|
|
|
|
|
|
|
Ряд (2) называют произведением рядов (А) и (В) |
|
|||
|
∞ |
|
|
|
(∑ai )(∑bk )~ ∑ ai bk |
. |
(3) |
||
|
s=1 |
s |
s |
|
|
|
|
|
Здесь знак ~ вместо = стоит потому, что неизвестно, сходится ли ряд (3). К тому же, если ряд (2) сходится условно, то его сумма будет зависеть от способа нумерации его членов. Так как сходящиеся ряды обладают свойством ассоциативности, то часто в ряде (2) определенные члены объединяют и суммируют. Чаще всего это делают двумя способами: 1) предварительно суммируют члены ряда, окаймляющие квадраты матрицы (1). Тогда из (2) получают ряд
∞
∑ cn
n=1
∞ |
∞ |
|
, (С), |
~ ∑ai ∑ bk |
|||
i=1 |
k =1 |
|
|
где |
|
|
c1 = a1b1, c2 = a2b1 + a2b2 + a1b2 , |
c3 = a3b1 + a3b2 + a3b3 + a2b3 + a1b3 . |
(4) |
Из (4) видим, что частичная |
сумма Sn ряда (С) получается |
как |
произведение частичных сумм рядов ( A) и (B) , то есть |
|
|
|
Sn = An Bn . |
(5) |
2) Предварительно суммируют члены ряда (2), стоящие на диагоналях квадратов матрицы (1). Получают ряд
∞
∑ cn
n=1
* ~ ∑ai ∑bk |
, |
(C* ) |
|
∞ |
∞ |
|
|
i=1 |
k =1 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c* = a b , c* |
= a b + a b , |
c* |
= a b + a b |
+ a b ,..., |
|||||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
3 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
3 |
c* |
= a b + a |
b +... + a b |
= |
∞ |
|
b . |
|
|
(6) |
||||||
∑a |
|
|
|
||||||||||||
n |
n |
1 |
n−1 2 |
|
|
1 |
n |
|
n+1−i i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
Ряд (C* ) называют произведением рядов ( A) и (B) по методу Коши. |
|||||||||||||||
Если степенные ряды |
∞ |
|
|
|
∞ |
|
перемножить по Коши, то, |
||||||||
∑ a xi , |
|
∑ b xk |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
i=0 |
i |
|
k =0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как видно из (6), снова получим степенной ряд
∞ |
i |
∞ |
k |
∑ ai x |
|
∑ bk x |
|
i=0 |
k =0 |
|
∞ |
|
, |
c* |
n |
b . |
(7) |
∑ c* xn , c* = a b |
= ∑ a |
|||||
n |
0 0 0 |
|
n |
n−i |
i |
|
n=0 |
|
|
|
i=0 |
|
|
99
При умножении степенных рядов первым способом степенной ряд не получится.
Теорема 1 (Коши). Если оба ряда ( A) и (B) сходятся абсолютно,
то и ряд (2) сходится абсолютно (следовательно, не зависит от способа нумерации) и его сумма равна AB .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= A* , |
∞ |
= B* . Рассмотрим n-ю |
||||||||||||||||||||
Доказательство. Пусть |
∑ |
|
a |
|
|
|
∑ |
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
частичную сумму Sn* ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ai |
bk |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s=1 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
* = |
|
a b |
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
i |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
k |
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
Если m – наибольший из знаков i1,i2 ,...,in ,k1,k2 ,...,kn , то |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn* ≤ ( |
|
a1 |
|
+ |
|
a2 |
|
+... + |
|
am |
|
)( |
|
b1 |
|
|
+ |
|
b2 |
|
+... + |
|
bm |
|
)= Am* Bm* ≤ A*B* . |
(9) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь Am* и |
|
Bm* |
|
– |
|
|
|
частичные |
|
|
|
суммы рядов (A* ) и (B* ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Неравенство (9) означает |
|
ограниченность |
частичных сумм |
Sn* |
ряда (8), поэтому он сходится, следовательно, ряд (2) сходится абсолютно и его сумма не зависит от способа суммирования его членов.
Просуммируем его первым способом. Согласно (5) его частичная сумма Sn = An Bn . Переходя к пределу, получим
lim Sn = lim An Bn = AB = S .
n→∞ n→∞
Теорема доказана.
Поскольку степенные ряды сходятся внутри некоторого круга сходимости абсолютно, то, согласно теореме 1, их можно перемножать по Коши. Тогда вместо (7) получим
∞ |
i |
∞ |
k |
∑ ai x |
|
∑ bk x |
|
i=0 |
k =0 |
|
|
∞ |
* |
n |
, |
|
x |
|
< R. |
(10) |
|
|
||||||||
|
= ∑ cn x |
|
|
|
|||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь R – общий радиус сходимости перемножаемых рядов. Замечание. Для степенных рядов можно ввести операцию,
обратную умножению, то есть деление степенных рядов. Пусть
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ an xn |
|
∞ |
∞ |
|
∞ |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
n=0 |
|
|
= ∑ d |
xi . ∑ a xn = |
∑ b xk |
∑ d |
xi |
= ∑ c* xn , b |
0 |
≠ 0 . |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
k |
|
i |
n |
|
k |
|
i |
|
n |
|
|
i=0 |
n=0 |
k =0 |
i=0 |
|
n=0 |
|
|
||||||
|
∑ bk x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|