UML_4256

a c > b c .

6) (a +b) c = a c +b c – распределительное свойство умножения относительно сложения (дистрибутивный закон умножения).

IV группа. Архимедово свойство.

Для любых чисел a > 0 и b существует натуральное n такое, что

(свойства непрерывности действительных чисел), введем некоторые дополнительные понятия.

§7. Верхние и нижние грани числовых множеств

Если для множества X ={x} действительных чисел существует

ограничено и сверху, и снизу, то оно называется ограниченным. Например, множество правильных дробей ограничено сверху, так

как любая правильная дробь меньше 1. Тогда M =1 – верхняя грань этого множества. Очевидно, что любое число больше 1 также является верхней гранью этого множества. Таким образом, если множество имеет верхнюю грань, то оно имеет бесконечное множество верхних граней.

Так как правильные дроби – положительные числа, то множество правильных дробей ограничено снизу. Тогда m = 0 – нижняя грань и любое число меньше 0 также является нижней гранью этого множества.

Таким образом, множество правильных дробей ограничено и сверху и снизу. Согласно определению 1 оно является ограниченным.

Множество N всех натуральных чисел ограничено снизу ( m = 1 и все числа меньшие 1 – его нижние грани). Однако, это множество не является ограниченным, так как оно не ограничено сверху. Множество

21

неограниченное, так как оно не ограничено ни сверху, ни снизу. Определение 2. Наименьшая из всех верхних граней множества

X ={x} называется точной верхней гранью этого множества и обозначается sup{x}, а наибольшая из нижних называется точной

следующие требования:

1)x X справедливо неравенство x ≤ M ;

2)x′ X x′′ X : x′′ > x′.

2) ε > 0 x′′ X : M − x′′ < ε.

Можно доказать, что определения 2, 2' и 2'' эквивалентны.

требованием определения 2''. Что требовалось доказать. Упражнение. Сформулировать аналогичные определения для

inf{x}.

Заметим, что сами точные грани множества могут принадлежать, а могут и не принадлежать самому множеству.

m =inf E = 0 E .

Теорема 1. Всякое ограниченное сверху непустое множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу – точную нижнюю грань.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть множество {x} ограничено сверху, то есть для всех x выполняется

22

неравенство x ≤ M1 . Может представиться два случая:

а) среди чисел множества {x} есть хотя бы одно неотрицательное

число; б) все числа отрицательные.

Рассмотрим случай а). Выберем неотрицательные числа множества {x}

и представим их в виде бесконечных десятичных дробей x = x0 , x1x2 x3....

Рассмотрим целые части этих дробей. Так как x ≤ M1 , то целые части не превосходят M1 и их ограниченное число. Следовательно, среди них

можно выбрать наибольшую. Обозначим ее x0 . Теперь среди неотрицательных чисел множества {x} выберем те, у которых целые

части равны x0 и сравним их первые десятичные знаки после запятой

(то есть десятые части). Наибольший из этих знаков обозначим x1 .

Затем среди чисел с равными целыми частями и десятичными знаками выберем число с наибольшим вторым десятичным знаком. Обозначим

его x2 . Продолжая этот процесс, получим некоторое число

x = x0 , x1 x2 x3....

Докажем, что это число и есть точная верхняя грань множества {x}, то

есть x = M = sup{x}. Для этого требуется доказать, что выполняются

требования 1 и 2 из определения 2'.

Докажем выполнение требования 1). Действительно, для отрицательных чисел множества {x} оно выполняется, так как число x неотрицательное. Пусть x = x0 , x1x2 x3... – любое неотрицательное число

множества {x}. Из правила построения числа x вытекает, что x ≤ x .

Таким образом, утверждение 1) доказано. Докажем теперь утверждение 2). Пусть x′ = x0′, x1′x2′x3′... – произвольное число множества {x}, меньше

найдется число x′′ такое, у которого

x0′′= x0 , x1′′= x1, x2′′= x2 ,..., xn′′+1 = xn+1 .

Ясно, что число x′′ > x′ и утверждение 2) доказано.

Случай б), когда все числа множества {x} отрицательные, доказывается аналогично (доказать самостоятельно). Вторая часть теоремы, то есть

23

существование inf{x}, доказывается аналогично. Теорема доказана. Теорема 2. Точная верхняя (нижняя) грань множества {x}

единственная.

Доказательство. От противного. Пусть sup{x} не единственный. Например, M1 и M 2 – точные верхние грани. Пусть M1 < M 2 , тогда

согласно свойству плотности действительных чисел существует число x′ такое, что M1 < x′ < M2 . То есть x′ < M2 , но x′ принадлежит

множеству {x}, а так как x′ > M1 , то он не принадлежит множеству {x}.

Получили противоречие, которое и доказывает теорему. (Вторую часть теоремы доказать самостоятельно).

Добавим к множеству действительных чисел R ={x | −∞ < x < +∞}

выполняются равенства (1), называют расширенной системой действительных чисел.

Таким образом, в расширенной системе действительных чисел всякое множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани.

§8. Свойство непрерывности действительных чисел

Рассмотрим разбиение действительных чисел на два класса, обладающих определенными свойствами.

Определение 1. Два множества действительных чисел A и B называются сечением множества действительных чисел, если выполняются следующие требования:

1)каждое из множеств A и B содержит хотя бы одно действительное число, то есть является не пустым;

2)всякое действительное число принадлежит только одному из множеств A и B ;

3)если x1 принадлежит множеству A , x2 – множеству В, то x1 < x2 .

Сечение множества действительных чисел обозначается A / B .

Множество А называется нижним, а B – верхним.

Очевидно, каждое действительное число x0 производит сечение множества действительных чисел. Действительно, множество A – это

24

все числа, меньшие x0 , B – большие. Само число x0 можно отнести к A

или к B .

Возникает вопрос, всякое ли сечение производится действительным числом?

Теорема 1 (Дедекинд). Для всякого сечения в множестве действительных чисел существует число x0 , которое производит это

сечение.

Доказательство. Пусть A/ B – некоторое сечение множества действительных чисел. Если x1 – число множества A , а x2 – число

множества B , то, согласно требованию 3 определения сечения, x1 < x2 .

Это означает, что множество A ограничено сверху, а B – снизу. Тогда существует sup A и inf B . Поскольку sup A и inf B – действительные

числа, то, согласно свойству 1) группы I, возможно только одно из трех отношений:

sup A < inf B , sup A = inf B , sup A > inf B.

число, которое и производит сечение. Теорема доказана.

Из теоремы Дедекинда следует, что на числовой оси нет просветов (дырок), которые могли бы производить сечения действительных чисел. Числовая прямая непрерывна, то есть действительные числа сплошь заполняют ее. Поэтому теорему Дедекинда называют свойством непрерывности множества действительных чисел. Она и представляет собой 5-ю группу свойств действительных чисел.

Таким образом, между множеством действительных чисел, и множеством точек числовой оси можно установить биекцию.

Можно доказать, что теорема о существовании точных граней, теорема Дедекинда и лемма о вложенных отрезках (с ней мы познакомимся чуть позже) эквивалентны, то есть принимая одну из них за аксиому можно доказать две другие. Поэтому все три эти теоремы можно назвать свойством непрерывности действительных чисел.

Действительным числом мы назвали бесконечную десятичную дробь. Если вместо десятичной дроби взять двоичную, троичную, n- ичную, то ничего не изменится, все свойства I– V будут выполняться.

25

Действительное число можно определить как сечение Дедекинда в множестве рациональных чисел (см. Рудин, Фихтенгольц) и как фундаментальную последовательность (так поступал французский

относительно указанных операций. Она дает возможность аксиоматически определить множество действительных чисел следующим образом. Все свойства I – V будем считать аксиомами, а любое множество произвольных элементов, в котором справедливы все аксиомы I – V, назовем множеством действительных чисел.

Очевидно, если хотя бы одна из этих аксиом не выполняется, то элементы множества не будут действительными числами. Поэтому комплексные числа не могут удовлетворять всем свойствам I – V.

§9. Комплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа

Рассмотрим упорядоченную пару (x, y) = z действительных чисел x R и y R .

Пара z = (x, y) является элементом множества R2 = R × R , то есть точкой плоскости, а x, y – ее декартовы координаты.

y

y z

26

Из (1) следует, что если z1 = z2 , а z2 = z3 , то z1 = z3 , то есть имеет место

транзитивность знака «=», поскольку свойство транзитивности знака «=» верно для действительных чисел.

Определим операцию сложения и умножения упорядоченных пар следующими равенствами:

Легко проверить, что коммутативность знаков сложения и умножения также выполняется, то есть

изменению порядка следования действительных чисел x1, x2 и y1, y2 в

правых частях формул (2,3), что их не меняет, так как для действительных чисел коммутативность выполняется.

Также легко проверить ассоциативный закон сложения и умножения пар.

Таким образом,

z + (−z) = (x, y) + (−x,−y) = (0,0) = 0 . 27

(−z) – противоположная пара для пары z .

Наличие противоположной пары дает возможность определить операцию вычитания пар

действительных чисел справедливы и для упорядоченных пар. Это дает возможность дать следующее определение.

Определение 1. Множество С упорядоченных пар

действительных чисел называется множеством комплексных чисел, если в нем определены операции сложения и умножения по формулам

(2,3).

Поскольку (x,0) = x R , то очевидно, что R C . Таким образом,

мы расширили множество действительных чисел R до множества комплексных чисел С. При этом для упорядоченных пар вида (x,0)

выполняются все свойства I – V действительных чисел. Для комплексных чисел общего вида (x, y), y ≠ 0 выполняются все свойства

I – V за исключением тех свойств, которые связаны со знаками >, <. Понятие «больше, меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Первая координата пары (x, y) = z называется действительной

(реальной частью комплексного числа). Обозначается x = Re z . Вторая часть называется мнимой частью комплексного числа и обозначается y = Im z .

Числа z = (x, y) и z = (x,−y) называются комплексно-

сопряженными. Найдем их произведение

z z = (x, y)(x,−y) = (x2 + y2 ,0) = x2 + y2 .

Получили положительное действительное число. Его называют квадратом модуля комплексного числа z(z ) . Пишут

Упражнение. Убедиться, что

1)z + z = 2 Re z ;

2)z1 + z2 = z1 + z2 ;

3)z1z2 = z1z2 ;

4)z1 + z2 ≤ z1 + z2 .

Убедимся, что всякое комплексное число z ≠ 0 имеет обратное

28

что и требовалось доказать.

Наличие обратного числа дает возможность ввести операцию деления комплексных чисел как умножение на обратное число, то есть

форма записи комплексного числа.

Можно убедиться, что действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, не отличаются от действий над

многочленами. Следует только i2 заменить на (–1). Формулу (9) в этом случае удобнее записать в виде

Пример 2. Смотрите пример 1, но все сделать в алгебраической форме.

§10. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

y

Всякое комплексное число z = (x, y) – точка плоскости. Поэтому плоскость называется комплексной.

Числа z = (x,0) = x – заполняют ось Ox .

Числа z = (0, y) – заполняют ось Oy . Её называют мнимой осью комплексной плоскости.

Соединив точку z1 = (x1, y1 ) с началом координат, получим

радиус-вектор. Легко проверить, что сложение и вычитание комплексных чисел осуществляется по правилам сложения и вычитания векторов (см. рис.).

30