UML_4256

положение точки M относительно некоторой фиксированной точки O , называемой полюсом, и некоторого фиксированного луча Ox , называемого полярной осью. Первая координата r – расстояние от полюса до точки M , а вторая ϕ – угол между полярной осью и радиус-

вектором OM .

Если совместить полярную ось с полуосью Ox декартовой системы координат, то связь декартовых координат с полярными будет выражаться формулами

arg z – главное значение аргумента (угла ϕ ), удовлетворяет условию −π < arg z ≤ π или 0 ≤ arg z < 2π . Мы будем считать, что −π < arg z ≤ π .

z1 =1−i 3, z2 = − 3 + i .

31

Используя формулу Эйлера, комплексное число можно записать в показательной форме

Теорема. Пусть ϕ,ψ R, k Z . Тогда справедливы равенства:

1)ei 0 =1;

2)eiϕ eiψ = ei(ϕ+ψ ) ;

3)ei(ϕ+2πk ) = eiϕ ;

4)e−iϕ = e1iϕ ;

5)eiϕ =1.

Доказательство. Равенства 1–5 непосредственно следуют из формулы Эйлера (4) и свойств тригонометрических функций. В качестве примера докажем второе равенство.

Как видно из теоремы, eiϕ обладает всеми свойствами показательной

функции ex действительного аргумента x R . Из 3) следует, что eiϕ – функция периодическая, с периодом 2πki . (Доказать самостоятельно

4)).

Показательная форма записи комплексного числа используется для записи тока (или напряжения), z – величина тока, arg z – его фаза.

Показательная форма записи очень удобна при умножении, делении и возвышении в целую степень.

Пример 2. Вычислить

Используя (6), методом математической индукции можно доказать, что

32

Формулу (7) называют формулой Муавра.

Показательную функцию eZ комплексного переменного z = x + iy определим формулой

(8)

Решение. eZ0 = eln 2+iπ = eln 2eiπ = 2(cosπ +isinπ )= −2.

§11. Логарифм комплексного числа. Возведение в степень. Извлечение корня

Логарифмом комплексного числа z назовем комплексное число w = Lnz такое, что

Убедимся, что число w существует.

Запишем искомое число w в алгебраической форме w = u + iv , а данное z в показательной z = rei arg z . Подставляя w и z в (1), получим

бесконечное множество различных логарифмов. Вводят понятие главного значения логарифма

§12. Понятие о гиперкомплексных числах

Если каждой точке плоскости соответствует комплексное число, то естественно предположить, что каждой точке пространства

Rn , n = 3,4,5,... соответствует некоторое гиперкомплексное число (лат.

число. По аналогии с алгебраической формой записи комплексного числа, гиперкомплексное число можно записать

n

u = x0 + ∑ xkik , (1)

k =1

где xk – действительные числа, а ik – некоторые символы – мнимые единицы.

35

При x2 = x3 = ... = xn = 0 гиперкомплексное число (1) совпадает с

комплексным числом, то есть множество комплексных чисел будет подмножеством множества гиперкомплексных чисел.

Операции над гиперкомплексными числами, очевидно, следует ввести таким образом, чтобы в частном случае комплексных чисел они не противоречили соответствующим операциям над комплексными числами.

Исследования показали, что этого сделать нельзя. Для большинства гиперкомплексных чисел нельзя ввести однозначно операцию деления и не выполняются основные свойства операций.

Теорема (Фробениус (1849-1917) – немецкий математик).

Существует только три ассоциативные алгебры с операцией деления, это алгебра действительных чисел, алгебра комплексных чисел и алгебра кватернионов. (Без доказательства).

u = x0 −ix − jy − kz – сопряженный кватернион.

Операции сложения и вычитания кватернионов определяются формулой

u1 ±u2 = (x01 ± x02 )+(x1 ± x2 )i +(y1 ± y2 ) j +(z1 ± z2 )k . (4)

Умножение кватернионов осуществляется по правилам действий над многочленами, а операции умножения мнимых единиц задаются таблицей: (строка – первая, столбец – второй)

Можно проверить, что выполняется ассоциативный закон сложения и умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения, коммутативный закон сложения, но

36

коммутативный закон умножения не выполняется, то есть u1 u2 ≠ u2 u1 .

Пример. u1 =1+ 2i −3 j + k, u2 = −2 + i + i + 2 j −3k . Найти u1 u2 и u2 u1.

Решение. u1 u2 = 5 + 4i +15 j + 2k, u2 u1 = 5 −10i + j −12k .

Упражнение. Найти u1 . u2

§13. Мощность множества. Кардинальные числа

Как уже отмечалось, различают конечные и бесконечные множества. Множество называют конечным, если количество его элементов может быть выражено некоторым числом. Это число может быть и неизвестным. Например, множество атомов нашей солнечной системы – конечное множество, но сколько оно содержит элементов не известно. Пустое множество относится к конечным.

Если из множества взять любое конечное число элементов, а оно не станет пустым, то его называют бесконечным. Например, множество натуральных чисел, множество точек прямой, множество точек плоскости.

Если множества A и B – конечные и имеют равное количество элементов, то говорят, что они эквивалентные, или равномощные. Пишут A ~ B .

Если число элементов множеств A и B неизвестно или они бесконечные, то сравнить эти множества можно, если сопоставить каждому элементу одного множества единственный элемент другого.

Если между элементами множеств A и B можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), то говорят, что множества A и B эквивалентны (равномощны).

Например, множество натуральных чисел N и множество четных натуральных чисел эквивалентны. Биекцию можно установить так:

1 2 3 . . . n

bbb...b...

2 4 6 . . . 2n

Множество натуральных чисел и множество целых чисел z . Биекция установлена так:

37

1 2 3 4 5

bbbbb...

0 1 −1 2 −2

Множество точек интервала −π2 < x < π2 и множество точек числовой

оси −∞ < y < +∞ эквивалентны. Биекцию можно задать функцией y = tg(x) (x = arctg y) .

Из приведенных примеров видно, что часть бесконечного множества может быть эквивалентна самому множеству. Например, N Z и N ~ Z . Такое возможно только для бесконечных множеств, поэтому бесконечное множество определяют так: множество называется бесконечным, если его собственное подмножество эквивалентно самому множеству ( B A | B ~ A) .

Определение 1. Множество называют счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Из определения следует, что само множество N счетное и всякое бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать, является счетным. Всякое пронумерованное множество называется

↓ .............................

Доказательство. Чтобы доказать теорему, достаточно предложить способ выписать все положительные рациональные числа в виде последовательности.

Выпишем все положительные рациональные числа в виде бесконечной матрицы. Способ построения последовательности указан на рисунке. Повторяющиеся числа можно пропускать. Теорема доказана.

38

Можно доказать, что множество Q всех рациональных чисел также счетное.

Теорема 2. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Доказательство. Пусть A – бесконечное множество. Возьмем любой его элемент и назовем его a1 . Так как множество бесконечное, то

в нем осталось еще бесконечное множество элементов. Возьмем из них один и назовем его a2 . Продолжая этот процесс, получим

последовательность a1, a2 ,..., an ,... . Теорема доказана.

Если An , n N – счетное множество, то можно доказать, что

∞

U An – множество счетное. Возникает вопрос, есть ли несчетные

n−1

множества?

Теорема 3. Множество действительных чисел X ={x | 0 < x <1}

несчетное.

Доказательство. От противного. Пусть это множество счетное. Тогда все действительные числа интервала (0,1) можно выписать в виде последовательности:

десятые доли, с x2 сотые и т.д. Но это число принадлежит интервалу (0,1). Получили противоречие, которое и доказывает нашу теорему.

Следствие. Множество R всех действительных чисел несчетное.

действительных чисел, то оно имеет мощность континуума. 39

Очевидно, и само множество R и X ={x | 0 < x <1} имеют

мощность континуума.

Если множество конечное, то число его элементов и есть его мощность. Таким образом, конечные множества сравнимы по мощности, то есть всегда можно сказать: мощность множества А равна, больше или меньше мощности множества В. Можно доказать, что и бесконечные множества сравнимы.

Для сравнения бесконечных множеств Кантор ввел специальные, так называемые кардинальные числа и ввел обозначения для них.

Из теоремы 2 следует, что счетное множество самое маленькое по мощности среди бесконечно больших множеств. Классу счетных множеств Кантор приписал (поставил в соответствие) кардинальное число 0 (алеф-нуль, алеф – первая буква финикийского или

древнееврейского алфавита). Например, cardN = 0 . Классу множеств

мощности континуума Кантор поставил в соответствие кардинальное число 1 (алеф-один). Например, cardR = 1 . Естественно, что 0 <1.

Кантор доказал, что множество Р(А) всех подмножеств множества А имеет мощность большую, чем мощность множества А. Кардинальное число множества Р(R) Кантор обозначил через 2 , то есть

cardP(R) = 2 . Аналогично cardP(P(R)) = 3 и т. д. Очевидно, что0 <1 <2 <K, поэтому множества с наибольшей мощностью не существует.

§14. Метрическое пространство

Определение 1. Множество X , элементы которого будем называть точками, называется метрическим пространством, если в нем введено понятие расстояния между точками, то есть любым двум

точкам x, y X сопоставлено действительное число ρ(x, y), удовлетворяющее трем условиям (аксиомам):

1)ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 x = y;

2)ρ(x, y)= ρ(y, x)(симметричность);

3)ρ(x, y)≤ ρ(x, z)+ ρ(z, y) z X (неравенствотреугольника) .