UML_4256

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(t )= asin t, −a cost,

, t (0,∞). В частности, для комплексной

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5022 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

µ+1

µdx ∫ xµdx

, xµ+1 + C, µ ≠ −1, x > 0.

1. d

= x

µ +1

2. d (ln

)

∫

= ln

+C .

= axdx ∫axdx =

3. d

+ C, a > 0, a ≠1.

ln a

4.d (sin x)= cos xdx ∫cos xdx = sin x + C .

5.d (−cos x)= sin xdx ∫sin xdx = −cos x + C .

6.d (tg x)= cosdx2 x ∫ cosdx2 x = tg x + C .

7.d (−ctg x)= sindx2 x ∫ sindx2 x = −ctg x + C .

8. d (arcsin x)= d (−arccos x)=			dx

	dx		1 − x2
∫		= arcsin x + C = −arccos x + C′.

	1 − x2

9.d (arctg x)= d (−arcctg x)= 1 +dxx2

∫1 +dxx2 = arctg x + C = −arcctg x + C′.

10.d (sh x)= ch xdx ∫ch xdx = sh x + C .

11.d (ch x)= sh xdx ∫sh xdx = ch x + C .

	dx			+ C (проверить дифференцированием).
12. ∫		= ln	x + x2 ± a2
	x2 ± a2

Согласно замечанию 3 все табличные интегралы справедливы и в том случае, если x = x(t ) – дифференцируемая функция аргумента t . В

частности, используя 8-й табличный интеграл, получим


				x
	dx		d			x
			d
∫		= ∫		a	= arcsin		+C,
∫	a2 − x2	= ∫		x 2	= arcsin	a	+C,
	a2 − x2			x 2		a
		1		−
		1		−
				a
				211

∫

xdx

∫

d (x)2

arcsin x2 + C .

1−(x2 )2

1− x4

Аналогично из 9-го интеграла таблицы получим

∫

arctg

+ C .

a2 + x2

Замечание 4. Первый интеграл таблицы справедлив и для

отрицательных

при некоторых значениях

µ.

Например, при µ =

имеем

∫ 3 xdx =

x 3 x +C .

Здесь

F (x)=

x 3

x –

первообразная

функции

f (x)= 3 x

на любом интервале числовой оси. При µ = −

3 3

имеем

∫

3 x2

+C ,

(x)=

не

является

первообразной

3 x

f (x)

функции

= x−3

на интервале,

содержащем точку x

= 0 , так как не

является на нём дифференцируемой функций. В то же время является

			4		dx	1
нестрогой	первообразной. При µ = −		4	имеем ∫	dx	= −3x−3 +C .
нестрогой	первообразной. При µ = −			имеем ∫	x 3 x	= −3x−3 +C .
	1	3			x 3 x
	1
Функция F (x)= −3x−3		не является даже нестрогой первообразной для
	4
функции	f (x)= x−3 на интервале, содержащем точку x = 0 , так как не
					0

является на нём непрерывной. На любом интервале, не содержащем точку x0 = 0 , она является первообразной.

Аналогичное замечание можно сделать и для второго интеграла таблицы и для некоторых других.

Замечание 5. Определения 1 и 2 справедливы и для векторной функции действительного аргумента

g (t )= (g1 (t ), g2 (t ),K, gn (t )), t [a,b]. Например, для функции r (t )= (a cost, asin t, ht ), t (0,∞) первообразной будет

212

функции скалярного аргумента t, z (t )= ei t = cost +isin t первообразной будет Z (t )= sin t −i cost = −i(cost + isin t )= −iei t .

§ 2. Основные методы интегрирования

Основные методы интегрирования – это: а) метод разложения; б) метод подстановки; в) метод интегрирования по частям. Рассмотрим эти методы.

1. Метод разложения. Метод заключается в том, что подынтегральную функцию представляют в виде суммы таких функций, интегралы от которых можно взять по таблице.

Поясним этот метод примерами.

+ x +1

Пример 1. ∫

dx = ∫ x +1

dx =

+ x + ln

+ C .


	x	1			1
Пример 2. ∫cos2		dx =		∫(1+ cos x)dx =			(x +sin x)+C .
	2		2			2
2. Метод подстановки. Пусть ∫ f (x)dx = F (x)+C на промежутке
X . Если x =ϕ(t ) –		дифференцируемая			на некотором			интервале
функция, а её значения x(t ) X , то согласно замечанию 3 §1 имеем
∫ f (ϕ(t ))dϕ(t )= ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F (ϕ(t ))+ C .								(1)

Формула (1) и является сутью метода подстановки. Частным случаем этого метода является метод подведения под знак

дифференциала, когда явно переменную

не вводят.

Продемонстрируем метод примерами.

Пример 3.

∫

u′(x)dx

= ∫

= ln

+ C = ln

(x)

+ C .

u (x)

d (cos x)

В частности, ∫tg xdx = ∫

sin xdx

= −∫

= −ln

cos x

+ C .

cos x

cos

Пример 4.

∫

= I .

ax2 +bx + c

Преобразуем квадратный трёхчлен в знаменателе следующим образом:

213

ax2

b 2

− 4ac

b 2

+bx + c = a x +

−

= a x +

−

		b	2				Д
= a	x +			± k2	, где k2	= ±		,	Д = b2 − 4ac – дискриминант.
= a	x +			± k2	, где k2	= ±		,	Д = b2 − 4ac – дискриминант.
							4a
		2a					4a

а) Пусть Д<0, тогда

x +

= t

∫

b 2

t2 + k 2

ax2 +bx + c

dx = dt

x +

+ k

x +

arctg

+ C =

arctg

+C .

б) Пусть Д>0, тогда

I =

x +

= t

∫

t2 − k2

dx = dt

x +

− k

(ln

t − k

t + k

)+ C =

∫

−

−ln

2ak

t − k

+ k

t − k

x +

− k

+ C =

+ C .

2ak

t + k

2ak

x +

+ k

Упражнение. Вычислить интеграл ∫

Пример 5.

ax2 +bx + c

x +3 = t2

= ∫(t2 −3)t2tdx = 2∫(t4 −3t2 )dt =

∫ x

x +3dx =

x = t2 −3

dx = 2tdt

−t3

+ C = 2

(x + 3)

−

(x + 3)

+ C .

214

3. Интегрирования по частям. Пусть функции u (x) и v(x) –

дифференцируемые на некотором промежутке X	и интеграл ∫vdu –
существуют. Тогда существует и интеграл
∫udv = uv − ∫vdu .	(2)

Для доказательства (2) достаточно убедиться, что дифференциал правой части равен подынтегральному выражению левой части.

Действительно, d (uv − ∫vdu)= d (uv)− d (∫vdu)= udv + vdu − vdu = udv .

Что и требовалось доказать.

Формула (2) называется формулой интегрирования по частям. Формула применяется для вычисления интегралов вида:

∫

xk eaxdx ,

∫

xk sin ax dx ,

∫

eax sin bx dx ,

∫

xk lnm xdx

некоторых

других.

cos ax

cosbx

Пример 6.

u = ln2 x, du =

ln xdx

∫ x

xdx =

x −

∫ x

ln xdx

dv = x3dx, v =

u = ln x, du =

x −

ln x

−

∫ x

dv = x3du, v =

x4 ln2

x −

x4 ln x +

x4 + C =

(8ln2 x − 4ln x +1)+ C .

Пример 7.

I =

∫ex sin xdx =

u = ex , du = exdx

= −ex cos x + ∫ex cos xdx =

dv = sin xdx, v = −cos x

u = ex , du = exdx

= −ex cos x + ex sin x − I.

dv = cos xdx,

v = sin x

2I = ex (sin x − cos x).

ex (sin x −cos x)+ C .

I =

215

Пример 8.

xdx

I = ∫

x2 +bdx =

u =

x2 + b, du =

= x x2 + b − ∫

x2 + b −b

dx =

x2 + b

dv = dx,

v = x

x2 + b

(x x2

)+ C .

= x x2 + b − I +b∫

I =

+ b + bln

x + x2 + b

Упражнение.

I = ∫

− x2dx =

x a2

− x2

+ a2 arcsin

+ C .

Доказать.

Пример 9.

2nxdx

u =

, du = −

n+1

In = ∫

(x2 + a2 )

dv = dx,

v = x

x2 + a2 − a2

+ 2n∫

dx =

+ 2n

In − a

∫

+ a

)

+ a

)

n+1

+ a

)

+ a

)

n+1

или

2n −1

+ 2nI

− 2na2 I

. (1)

(x2 + a2 )n

n+1

2na2 (x2 + a2 )n

2na2

Формула (1) называется рекуррентной. Она сводит вычисление

интеграла In+1 к вычислению интеграла In . Например,

I1 = ∫

arctg

+ C . Согласно формуле (1),

x2 + a2

I2 = ∫

arctg

+ C .

(x2 + a2 )n

2a2 (x2 + a2 )

2a3

Зная теперь I2 , вычислим I3 и так далее.

Пример 10. In = ∫

(Д = b2 − 4ac < 0).

(ax2 + bx + c)

Подстановкой t = x +

сводится к интегралу примера 9.

216

§ 3. Алгебраический многочлен. Действия над многочленами. Теорема Безу

Стационарную числовую последовательность
	a ={a0 , a1, a2 ,K,an ,0,0,K}, an ≠ 0			(1)
назовём	алгебраическим	многочленом.	Элементы	ai
последовательности назовём		коэффициентами	многочлена,	a0 –

свободным членом. Наибольший индекс n , при котором an ≠ 0 назовём степенью многочлена и обозначим deg a = k . Если все коэффициенты

равны нулю, то многочлен обозначим O . Он не имеет степени. a = b только при ak = bk . На множестве многочленов различных степеней

a ={a0 , a1, a2 ,K, an ,0,0,K},b ={b0 ,b1,b2 ,K,bm ,0,0,K},

c ={c0 ,c1,c2 ,K,cp ,0,0,K}, K введём следующие операции.

1.	Суммой двух многочленов a и b назовём третий многочлен
c = a +b ,		коэффициенты		которого	определяются		формулой
ck = ak	+ bk , k =1,2,K. Очевидно, deg (a +b)≤ n , если n ≥ m .
2.	Произведением многочлена a на число λ назовём многочлен
c = λa, ck = λak .			двух многочленов a и b			назовём третий
3.	Произведением
		c = a b,	ck	k
многочлен				= ∑ aibk −i , k	= 0,1,2,K, m	+ n .	Очевидно,
deg (ab)= n + m .				i=0

4.	Разность многочленов определим формулой a −b = a +(−1)b .
Рассмотрим частный вид многочлена (одночлен) вида
		xk ={0,0,K,0,1,0,0,K}.					(2)
Всякий		многочлен	a ={a0 , a1, a2 ,K, an ,0,0,K}			можно записать

(единственным образом) в виде линейной комбинации одночленов (2).

a = a0 x0 + a1x1 + a2 x2	+K+ an xn =	n
		∑ ak xk .	(3)
		k =0	xk ,
Заметим, что одночлен xk	удобнее переобозначить как

поскольку xk можно рассматривать как символ, то есть обозначение одночлена (2), а с другой стороны, как k -ю степень многочлена x ={0, x,0,0,K}. Тогда равенство (3) будет линейной комбинацией

217

различных степеней одночлена x . Многочлен приобретёт обычную свою форму записи, известную из школьного курса математики.

a = a0 + a1x + a2 x2 +K+ an xn = ∑ ak xk . (3′)

k =0

Эту форму записи мы уже рассматривали в §5 главы 6. (Сравни с алгебраической формой записи комплексного числа).

Если x считать переменной, то многочлен (3′) будет функцией аргумента x

	n
	a (x)= ∑ a xk .
	k
	k =0
Рассмотрим теперь операцию деления многочленов. Если для
данных	многочленов a и b можно найти многочлен q такой, что
a = bq ,	то говорят, что многочлен a делится на многочлен b, или a

кратен b. Например, многочлен O кратен любому другому, так как

O = b ·O . В	общем	случае деление многочленов	невозможно.
Действительно,	если	deg a < deg b, то равенство a = bq	не возможно,
так как deg (bq)= deg b + deg q > deg a .

Лемма. Для любых многочленов a и b существуют единственные

многочлены q и r такие, что
a = bq + r, deg r < degb.		(4)
Многочлен a называется делимым, b – делителем, q – частным,
r – остатком.	то a = b ·O + a и
Доказательство. Если deg a < deg b ,	то a = b ·O + a и	лемма
доказана. Если deg a = deg b, то (4)	справедливо при	a = b ,

q =1 ={1,0,0,K} и r = O . Пусть

a = a xn + a

xn−1 +K+ a x + a , b = b xm + b

xm−1 +K+ b x + b

n−1

m−1

n > m. Возьмём многочлен

xn−m . Тогда разность a −bq = r

–

многочлен,

степень которого, по крайней мере, не больше n −1.

Если

n −1 < m , то лемма доказана.

Если

n −1 > m , то аналогично найдём многочлен

q2 такой, что

многочлен r1 −bq2 = r2 будет иметь степень ещё, по крайней мере,

на

единицу меньше, чем r1 ,

то

есть

a −b(q1 + q2 ) = r2 ,

deg r2 ≤ n − 2.

Продолжая этот процесс, добьёмся того, чтобы deg rk < deg b , то есть

deg (a −b(q1 + q2 +K+ qk ))= deg (a −bq)= deg r < deg b .

218

Единственность легко доказать методом от противного (самостоятельно). Лемма доказана.

Практически один многочлен разделить на другой можно «уголком», предварительно расположив многочлен по убывающим степеням.

Пример. Разделить a(x)= 6 −5x + 4x2 −3x3 + 2x4 на b(x)=1 −3x + x2 .


Решение.	2x4 −3x3 + 4x2 −5x + 6						x2 −3x +1
	2x4 −6x3 + 2x2				x + 6		2x2 +3x +11
		3x3 + 2x2 −5			x + 6
		3x3 −9x2 +3x

			11x2	−8x + 6
			11x2	−33x +11
				25x −5
В частности,	если делитель			b(x)		= x − x0 – многочлен первой

степени, то остаток r , согласно лемме, многочлен нулевой степени, то

есть число. Из (4) получимa(x)= (x − x0 )q(x)+ r .	(5)
Подставляя в (5) x = x0 , найдём
r = a(x0 ).	(6)

Равенство (6) выражает теорему Безу: остаток от деления многочлена на (x − x0 ) равен значению многочлена при x = x0 .

§ 4. Рациональная дробь. Разложение рациональной дроби

Если многочлен a делится на многочлен c и многочлен b делится

на c , то есть
a = c q1 , b = c q2 ,	(1)

то говорят, что многочлены a и b имеют общий делитель c . Многочлены a и b называют взаимно простыми, если у них нет общего делителя, кроме многочлена нулевой степени. Если многочлены q1 и q2

в (1) взаимно простые, то c – наибольший общий делитель многочленов a и b.

Рассмотрим упорядоченную пару взаимно простых и отличных от нуля многочленов (a,b). Назовём пару (a,b) рациональной дробью и

219

обозначим ba . Многочлен a назовём числителем, b – знаменателем

дроби.

Операции сложения и умножения дробей определим формулами:

a1b2 + a2b1

;

a1a2

(2)

b b

Если deg a < deg b, то дробь называют правильной,

в противном

случае – неправильной.

Если дробь

неправильная,

то

согласно лемме

предыдущего

параграфа и (2) имеем

bq + r

= q +

(3)

– дробь правильная.

Пусть знаменатель b правильной дроби в (3) можно представить в виде произведения взаимно простых сомножителей b = b1b2 . Если V и

W – произвольные взаимно	простые многочлены, то очевидно
Vb1 +Wb2 – множество всех	многочленов взаимно простых с
многочленом b.

Поскольку числитель r в (3) взаимно простой с b, то он входит в множество Vb1 +Wb2 , то есть найдутся некоторые многочлены W =U1 и

V =U2 такие, что
r =U2b1 +U1b2 .			(4)
По лемме предыдущего параграфа имеем
U1 = b1q1 + r1, U2 = b2q2 + r2 .			(5)
Подставляя (5) в (4), получим
r = (b2q2 + r2 )b1 +(b1q1 + r1 )b2 = b1b2 (q1 + q2 )+ b1r2 + b2r1 .			(6)
Согласно свойствам операций и лемме имеем
(5)
deg (b1r2 )= deg b1 + deg r2 < deg b1	+ deg b2	=α ,
(5)
deg (b2r1 )= deg b2 + deg r1 < degb2	+ degb1	=α ,	(7)

deg r < deg b = deg (b1b2 )= degb1 + deg b2 =α .

С другой стороны, из (6) получим

220

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5022 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб7umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf