UML_4256

Пусть

X

и Y – метрические пространства,

E X , функция f

отображает множество E в множество Y , а x0 X

– предельная точка

множества E .

y0 Y

Определение 1 (Гейне).

Точка

называется пределом

функции

f

в точке x0 ,

если

для любой нестационарной

последовательности {xn } E , сходящейся к точке x0 , соответствующая

последовательность {f (xn )} Y сходится к y0 .

То есть, если из ρx (x0 , xn )→ 0 при n → ∞ следует

ρy (y0 , f (xn ))→ 0 при n → ∞ .

(1)

Пишут lim f (x) = y0 или f (x)→ y0 при x → x0 .

x→x0

Заметим, что предельная точка x0 может не

принадлежать

множеству

E , то есть области

определения

функции

f (x). Если

x0 E , то y0

может не совпадать со значением функции

f (x) в точке

x0 , то есть y0

≠ f (x0 ).

Пример 1. Найти lim

x3 + 2x

. Здесь функция y = f (x)=

x3 + 2x

–

x→1 x2 +1

x2 +1

стационарная), сходящаяся к

x0 =1.

Тогда,

согласно определению 1,

имеем

x3 + 2x

lim f (x)= lim f (x

)= lim

1+ 2 1

3

n

n

=

=

.

x2

+1

1+1

2

x→1

xn →1

n

xn →1

n→∞

n→∞

n

Пример 2.

Найти

lim

sin x

.

Здесь

f (x)=

sin x

–

x

x→∞

x

1 ,

действительная

функция

действительной

переменной x .

X =

R

предельная точка x0 = ∞. Найдем

Е – область определения функции

(см. рис.).

Поскольку предельная точка x0 = ∞, то любая сходящаяся к ней

последовательность xn является бесконечно большой.

Решение. Пусть xn произвольная бесконечно большая

последовательность

{xn } E .

Согласно

определению

1,

lim

sin x

=

lim

sin xn

= lim sin x

1

= 0 –

как произведение

x

x→∞

x

xn →∞

xn →∞

n x

n

n

Пример 3. limsin

1

. Здесь

X = R1, E = R1 \ {0}. Предельная точка

x

x→0

0 = x0

E .

предельной точке

x = 0

, x =

1

и x'

=

1

. Воспользуемся

2πk

2πk +π

2

0

k

k

определением 1,

f (xk )

= 0 ,

f (xk'

)=1,

то

есть

последовательность

Пример 4. Найти lim

Re z

.

Здесь z = x +iy , X = C, E = C \ {z0 },

z→0

z

z0 = 0. z0 = 0 – предельная точка,

z0

E .

112

Пример 6. Найти limcos x.

Здесь

f (x) = cos x ,

X = R1 = E ,

x→0

x0 = 0 E – предельная точка.

ρy (y0 , f (x)) =

f (x)− y0

, ρx (x, x0 )=

x − x0

.

Решение. Допустим, что предел существует и равен y0 =1. Тогда

f (x)− y

=

cos x −1

=1−cos x = 2sin2

x

≤

2

x

2

< ε.

x

< 2ε

= δ

ε

0

2

2

(воспользовались неравенством

sin x

≤ x , см. рис.).

Итак,

для

ε > 0существует

δε

=

2ε ,

причем,

если

x − 0

< δε

x E , то

cos x −1

< ε .

Согласно

определению 2,

y0 =1 – предел функции y = cos x в

точке x0 = 0 , то есть limcos x =1.

x→0

Теорема. Определения предела по Гейне и

Коши эквивалентны.

Доказательство. Пусть условия определения Коши выполняются,

то есть из

0 < ρx (x, x0 )<δε ρy (y0 , f (x))< ε .

(4)

Пусть xn – произвольная последовательность, сходящаяся к x0 .

Тогда из

(4)

следует

ρy (y0 ,

f (xn ))< ε ,

то

есть последовательность

f (xn )

сходится

к

y0 .

Таким

образом,

из

сходимости

последовательности xn

следует сходимость последовательность

f (xn ),

Тогда, полагая последовательно δ =

1

(n =1,2,3,...), найдем значения

n

1

ρy (y0 , f (xn ))≥ ε .

xn

такие, что ρx (x, x0 )< δ =

,

но

То есть

n

f (xn )

последовательность xn сходится,

а

последовательность

Замечание.

Определение

предела

по

Коши

можно

перефразировать на языке ε −δ -окрестностей точек y0

и x0 . Пусть X и

Y – метрические пространства,

E X , функция

y = f (x)

отображает

E в Y и x0 X – предельная точка области определения E .

Точка y0 Y называется пределом функции

y = f (x)

в точке x0 ,

если

для

ε > 0

найдется

δε

> 0,

такое,

что

как

только

x O(x ,δ

ε

)∩ E , то

y O(y

0

,ε ) (2' ,3' ) .

0

§3. Свойства пределов

Теорема

1. Пусть

X

–

метрическое

пространство,

E X и

x0 X

–

предельная точка

множества

E ,

f

и g

–

комплексные

функции на E .

lim g (x)= b, то

Если lim f (x)

= a ,

x→x0

(

x

→x0

1)

x→x

f (x)± g (x)

)

= a ±b ;

lim

0

)

2)

x→1 (

f (x)g (x)

= ab ;

lim

3)

lim

f (x)

=

a

, если b ≠ 0.

g (x)

x→x0

b

Доказательство. Согласно определению предела функции по

Гейне,

lim f (x)= lim f

(xn )

, то есть предел функции

f (x) сводится к

x→x0

xn →x0

f (xn ). Поэтому

пределу последовательности

доказательство этой

теоремы следует из соответствующей теоремы для комплексных

последовательностей (см. теорему 1 §2 гл. 2). Теорема доказана.

Функция

f (x) называется бесконечно малой в точке

x0 , если

lim f (x)= 0 .

Функция f (x) называется ограниченной в

области

x→x0

определения E , если множество ее значений {f (x)| x E} ограничено.

Функция f (x)

называется ограниченной в точке x0 , если существует

окрестность O

(x0 ,δ ) такая, что на множестве O(x0 ,δ )∩ E

функция

Теорема 3 (правило замены переменной). Если существуют

пределы

lim f (x) = y0 и

lim g (y), то существует и предел сложной

x→x0

(

f (x)

)

y→y0

x→x

(

f (x)

)

y→y

функции

g

,

причем

(без

lim g

= lim g (y)

доказательства).

0

0

Если f (x)

– действительная функция действительного аргумента

Теорема 1 (первый замечательный предел). lim

sin x

=1.

x→0

x

Доказательство. Из рис. видно, что при 0 < x <

π

справедливы

неравенства

2

S1 < S2 < S3 .

(1)

S

=

1

cos xsin x ,

S

2

=

1

x,

S

3

=

1

tgx ,

1

2

2

2

A

B

0

x

D

C

1

cos xsin x <

1

x <

1

tgx. cos x <

x

<

1

.

2

2

2

sin x

cos x

sin x

(2)

1

cos x <

<

.

x

cos x

отрицательных x , то есть при −

π

< x

<

π .

2

2

1

Поскольку

limcos x =1 (см. пример 6

§2) и

lim

=1, то по

x

→0

x

→0 cos x

теореме о двух милиционерах имеем

lim

sin x

=1.

Теорема доказана.

x

→0

x

π

3 − 2cos x

2 cos

6

− cos x

Пример 1. lim

= lim

=

π − 6x

π − 6x

x→π

6

x→π

6

π

−

x

π

+

x

π

x

sin

sin

= t

= lim

12

2

12

2

=

−

=

12

2

π

x

x→π 6

−

t → 0

3

12

2

π

sin t sin

6

−t

1

sin t

π

= −lim

= −

lim

limsin

−t

=

t

3

t

6

t→0

3 t→0

t→0

117

= −

1

π

−t

1

sin lim

= −

.

3

6

6

t→0

Воспользовались формулой