UML_4256
.pdfЛегко проверить, что все три аксиомы определения 1 выполняются, следовательно, пространство действительных чисел метрическое.
Пример 2. Если X = C – множество комплексных чисел, то расстояние введем по той же формуле (1)
ρ(z , z |
2 |
)= |
|
z − z |
2 |
|
= |
(x |
− x |
)2 +(y − y |
2 |
)2 . |
(1') |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
Неравенство треугольника следует из геометрических соображений.
Пример 3. Пусть |
X = Rn |
– множество |
упорядоченных энок |
|
x = (x1, x2 ,..., xn ) действительных чисел. |
|
x = (x1, x2 ,..., xn ) и |
||
Расстояние ρ(x, y) |
между |
двумя |
точками |
|
y = (y1, y2 ,..., yn ) определим формулой |
|
|
||
ρ (x, y)= |
n |
|
(2) |
|
∑(x − y )2 . |
||||
|
|
i |
i |
|
|
|
i=1 |
|
|
Можно проверить, что (2) удовлетворяет определению 1, следовательно, пространство Rn – метрическое.
Пример 4. Если X = C[a,b] – множество непрерывных функций,
заданных на отрезке |
[a,b], то расстояние между точками (функциями |
|||||||||
x(t), y(t) C[a,b]) |
можно определить формулой |
|
|
|
|
|
||||
|
ρ(x, y) = sup |
|
x(t )− y(t ) |
|
. |
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
a≤t≤b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Что C[a,b] – пространство метрическое, убедимся позже. |
|
|
|
|
||||||
Определение 2. |
ε −окрестностью точки |
x0 |
метрического |
|||||||
пространства X называется подмножество Y множества X , |
||||||||||
удовлетворяющее условию ρ(x0 , x)<ε для x Y , x0 Y . Обозначают |
||||||||||
O(x0 ,ε ), ε – радиус окрестности. |
|
|
|
|
|
|||||
Пример 4. В R = R1 (числовая ось) |
|
|
|
|
|
|||||
O(x0 ,ε )={x | x0 −ε < x < x0 +ε} – интервал длиной |
2ε |
с центром в |
||||||||
точке x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε – |
В расширенном множестве действительных чисел |
|
|
||||||||
R |
||||||||||
окрестности O(−∞,ε) и O(+∞,ε) – это интервалы (−∞,−ε) и |
(ε,+∞) |
соответственно.
В R2 (плоскость, множество С комплексных чисел)
41
O(x0 ,ε )={(x, y)| (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε} – |
круг радиуса ε с |
|||||||
центром в точке x0 = (x , y |
0 |
). |
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
В |
Rn |
(n-мерное |
|
арифметическое |
пространство) |
|||
O(x0 ,ε )= |
|
n |
2 |
< ε |
|
– n-мерный шар радиуса ε с центром |
||
x | |
∑(xi − xi0 ) |
|
|
|
||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
в точке x0 = (x10 , x20 ,..., xn0 ). |
|
|
|
|
|
|
a b
В C[a,b] |
O(x0 ,ε )= |
{ |
|
(t ) |
|
} |
|
|
t |
x(t )− x0 |
|
|
|||||
|
x(t )| sup |
< ε |
|
– множество |
непрерывных функций x(t), графики которых не выходят за полосу шириной 2ε , симметричную относительно графика функции x0 (t) (см.
рис.).
Определение 3. Подмножество Е метрического пространства Х
называется ограниченным, если существует действительное число М и |
|||
точка x0 X |
такие, что ρ(x, x0 )< M для x E . Например, интервал |
||
(a,b), отрезок |
[a,b], ε − окрестность точки x |
пространства, Rn – |
|
|
|
0 |
|
множества ограниченные, а ε − окрестности символов (−∞) и (+∞) – |
|||
множества неограниченные. |
|
|
|
Определение 4. Пусть Х |
– метрическое пространство. Точка x0 |
||
называется внутренней точкой |
множества E X , если существует |
||
O(x0 ,ε ) E . |
Если любая окрестность точки |
x0 E , кроме точек |
множества Е, содержит и точки множества Х, то точка x0 называется
граничной точкой множества Е.
42
Например, все точки интервала (0,1) R1 внутренние, а точки отрезка [0,1] R1 также все внутренние за исключением точек x = 0 и
x =1. Эти точки граничные.
Замечание. Понятие внутренней и граничной точки множества относительно. Оно зависит от пространства, в которое погружено это
множество. |
если (0,1) R1 , то все точки интервала внутренние, а если |
||||||
Например, |
|||||||
(0,1) R2 , то все точки интервала граничные. |
|
|
|
|
|||
Определение 5. |
Пусть |
Х – метрическое |
пространство. |
||||
Множество |
E X |
называется |
открытым, |
если |
все |
его |
точки |
внутренние. |
(0,1) R1 |
– множество |
открытое, |
а |
отрезок |
||
Например, |
интервал |
[0,1] R1 не является открытым множеством.
Теорема 1. |
Всякая |
окрестность точки |
x0 является открытым |
|||
множеством. |
|
|
|
Х – метрическое |
|
|
Доказательство. |
Пусть |
пространство, |
||||
X E = O(x0 ,ε ) |
и x1 E – |
произвольная |
точка множества E . |
|||
Докажем, что точка x1 |
– |
внутренняя точка |
множества E , то есть |
|||
O(x1,δ ) E . Действительно, пусть ρ(x0 , x1 ) |
= r <ε . Тогда для всякой |
|||||
точки x , такой, что |
ρ(x, x1 ) <ε −r =δ, |
согласно |
неравенству |
|||
треугольника имеем |
|
|
|
|
|
|
ρ(x0 , x)≤ ρ(x0 , x1 )+ ρ(x1, x)= r +δ = r +ε − r =ε, |
||||||
то есть ρ(x0 , x)<ε . Это означает, что x E , а неравенство ρ(x, x1 )<δ |
||||||
означает, что O(x1,δ ) E , |
то есть x1 – внутренняя точка множества |
|||||
E . Теорема доказана. |
|
Х – метрическое пространство и E X . |
||||
Определение 6. Пусть |
Точка x0 X |
называется предельной точкой множества E , если любая |
|||||||||
окрестность точки |
x0 |
содержит хотя бы одну точку |
x E такую, что |
|||||||
x ≠ x0 . Если |
x0 E |
и |
не является предельной, то |
она называется |
||||||
изолированной. |
|
множества E ={x Q | 0 ≤ x ≤1} R1 |
|
|
||||||
Например, все точки |
являются |
|||||||||
предельными, |
а |
все |
точки множества A = 1, |
1 |
, |
1 |
,..., |
1 |
,... R1 |
|
2 |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
являются изолированными. Точка x0 = 0 является предельной точкой множества А, но не принадлежит этому множеству. Все точки множества B ={1,2, 5} R1 изолированные. Предельных точек это
множество не имеет.
Теорема 2. Если x0 – предельная точка множества E , то любая окрестность точки x0 содержит бесконечное множество точек
множества E .
Доказательство. От противного. Пусть x0 – предельная точка множества E и пусть существует O(x0 ,ε ), содержащая конечное число
точек x1, x2 ,..., xn , принадлежащих |
E и не совпадающих с x0 . Пусть |
r = min ρ (x0 , xk ). Тогда O(x0 , r) |
не содержит ни одной точки |
k |
|
множества Е, не совпадающей с x0 . Тогда x0 не является предельной.
Получили противоречие, которое и доказывает нашу теорему. Следствие. Конечное множество не имеет предельных точек.
44
ГЛАВА 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§1. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. Свойства
Всякое бесконечное пронумерованное множество произвольных элементов мы назовем последовательностью, то есть можно рассматривать последовательность действительных и комплексных чисел, последовательность многочленов и функций, последовательность матриц и прочее.
Последовательность будем обозначать так: {x |
}∞ |
или {x |
}, |
x |
n |
– |
n |
n=1 |
n |
|
|
|
общий (n-й) член последовательности. Задать последовательность можно, указав вид общего члена последовательности, например,
xn = (−1)n , xn = 1n , xn = n n+1, xn = (x0 + iy0 )2 , xn = sinn t и прочее.
Последовательности {xn } и {yn } равны
def
{xn } = {yn } xn = yn .
Последовательность – это упорядоченное множество. Поэтому следует различать последовательность и множество ее значений. Например, 1, −1,1, −1,1,K и −1,1,1,K разные последовательности, но
множества их значений {−1,1} одинаковы.
Последовательность называют стационарной, если все ее члены, начиная с некоторого, совпадают. Например, −1,2,2,2,... и
cost,sin t,sin t,sin t,.... – стационарные последовательности. Если все члены последовательности совпадают, то последовательность называют постоянной.
Последовательность называют ограниченной, если множество ее
значений ограничено. Например, x |
= |
1 |
, y |
n |
= (−1)n , u |
n |
= sinn−1 t – |
|
|||||||
n |
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ограниченные последовательности, так как множества их значений
1, 1 , 1 ,... , {−1,1}, {1,sin t,sin2 t,sin3 t,...} – ограниченные.
⎩2 3
Действительно, для первых двух множеств это очевидно, для третьего имеем по определению 3 §14 гл.1
45
ρ(ϕ0 ,ϕn )= sup 1−sinn t ≤ 2.
t R
Последовательность Zn = n2 , очевидно, не ограниченная, так как множество ее значений {1,4,9,...} не ограничено.
Определение 1. Последовательность {xn } точек метрического пространства X называется сходящейся, если существует точка x0 X ,
обладающая следующими свойствами: для |
ε > 0 существует |
||
натуральное Nε такое, что |
|
|
|
ρ(xn , x0 )< ε |
n > Nε . |
(1) |
|
Говорят, что последовательность |
{xn } сходится к точке x0 , или |
||
x0 – предел последовательности {xn }, и пишут |
|
||
lim x |
= x . |
|
|
n→∞ n |
|
0 |
|
Если последовательность не сходится, то она называется |
|||
расходящейся. |
Если {xn } – |
последовательность |
|
Рассмотрим частный случай. |
действительных чисел, то условие сходимости (1) перепишется в виде
Если {Zn } |
|
|
|
|
|
|
|
x n −x0 |
|
< ε |
n > Nε . |
|
|
(1') |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
– последовательность комплексных чисел, то (1) запишется |
||||||||||||||||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z |
n |
− Z |
0 |
|
= |
|
(x − x |
)+(y |
n |
− y )i |
|
= |
|
(x − x |
)2 +(y |
n |
− y )2 < ε |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
0 |
|
|
|
n |
0 |
|
0 |
|
||||||||
n > Nε . |
|
{ n |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1") |
||||||
|
|
|
Если |
|
– функциональная последовательность метрического |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ϕ |
(t ) |
||||||||||||||||||||
пространства C[a,b], то (1) запишется |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|
ϕn (t )−ϕ0 (t ) |
|
|
< ε |
n > Nε . |
(1''') |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a≤t<b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
|
стационарные последовательности всегда сходятся. Если |
|||||||||||||||||||||||
{xn } ={−1,1,2,3,3,3,3,...}, |
{ϕn } ={1,cost,sin t,sin t,sin t,...}, |
то очевидно, |
что
lim xn = 3, lim ϕn (t )= sin t .
x→∞ x→∞
Докажем теперь некоторые важные свойства сходящихся последовательностей в метрическом пространстве.
46
Теорема. Пусть {xn } – последовательность в метрическом
пространстве Х .
1) Последовательность {xn } сходится к точке x0 X тогда и только тогда, когда любая окрестность точки x0 содержит все члены последовательности {xn }, начиная с некоторого.
2)Если существует предел последовательности {xn }, то он единственный.
3)Если последовательность {xn } сходится, то она ограничена.
4)Если E X и x0 – предельная точка множества Е, то существует последовательность {xn } элементов множества Е, сходящаяся к точке x0 .
{xn } сходится к
точке x0 , то есть
lim xn = x0 . ρ(xn , x0 )< ε n > Nε , ε > 0 – любое.
n→∞
Последнее означает, что xn O(x0 ,ε ) для n > Nε , то есть все члены последовательности {xn }, начиная с n = Nε +1, содержатся в окрестности O(x0 ,ε ). Необходимость доказана.
Пусть теперь наоборот, произвольная окрестность O(x0 ,ε ) содержит все члены последовательности {xn }, начиная с некоторого, то есть
Тогда
Полученное означает, что
lim xn = x0 .
n→∞
Утверждение доказано.
2) От противного. Пусть предел последовательности {xn } не единственный. Например, их два x0 и x0′. Из определения предела следует
ρ(x , x |
)< ε |
2 |
n > N и ρ(x′, x |
) |
< ε |
2 |
n > N |
2 |
. |
||
0 n |
|
1 |
0 |
n |
|
|
|
|
|||
Если N = max{N1, N2}, то оба неравенства будут выполняться для |
|||||||||||
n > N . Используя неравенство треугольника, имеем |
|
|
|
||||||||
ρ(x0 , x0′ )≤ ρ(x0 , xn )+ ρ(xn , x0′ )< |
ε |
+ |
ε = ε n > N . |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, ρ(x0 , x0′ )< ε , то есть расстояние между двумя
фиксированными точками меньше сколь угодно малого числа ε . Это возможно только при x0 = x0′ . Получили противоречие, которое и
доказывает наше утверждение. |
{xn } |
сходится к точке x0 , |
то есть |
||||||||||
3) Пусть последовательность |
|||||||||||||
ρ(x0 , xn )<1, |
n > N1 |
(положили ε =1). |
Это означает, что множество |
||||||||||
точек {xN +1, xN +2 , xN +3 ,...} |
ограничено (см. определение 3 §14 гл.1). |
||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
(xN |
, x0 ) и выберем |
|||
Найдем расстояния ρ1 (x1, x0 ), ρ2 (x2 |
, x0 ),..., ρN |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
r = max 1, ρ , ρ |
2 |
,..., ρ |
N1 |
. |
Тогда |
неравенство ρ(x , x )≤ r |
будет |
||||||
{ |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
выполняться для всех n .
Аэто и означает ограниченность последовательности {xn }.
Утверждение доказано.
4) Пусть x0 – предельная точка множества Е. Согласно
определению предельной точки (см. опр.6 §14 гл.1), любая окрестность точки x0 содержит хотя бы одну точку множества E . Тогда существует
xn такая, что
|
|
x |
O x |
|
, |
|
1 |
|
ρ(x |
, x |
)< |
1 |
. |
(2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
n |
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
Для любого заданного ε > 0 выберем N так, |
чтобы ε N >1. Тогда для |
||||||||||||||
n > N , εn >1 или |
1 |
< ε . Подставляя это в (2), получим |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
n |
ρ(x , x |
|
)< ε, n > N . |
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и означает, что lim x |
= x |
, |
то есть существует последовательность |
||||||||||||
|
n→∞ |
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{xn } точек множества E , сходящаяся к точке x0 . |
|
Теорема доказана.
§2. Сходящаяся последовательность комплексных чисел. Свойства
Чтобы найти предел числовой последовательности {xn } по определению:
xn − x0 |
|
< ε n > Nε , |
(1) |
|
следует:
48
1)принять гипотезу, что предел существует и равен x0 ;
2)решить неравенство (1) относительно n для любого ε ;
3)если решение существует и имеет вид n > Nε , то гипотеза верна и предел найден.
Пример 1. Найти предел последовательности xn = n n+1 .
Решение. Пусть lim x |
n |
= x =1. Решаем неравенство ε > 0. |
n→∞ |
0 |
|
|
n |
−1 |
< ε 1− |
|
n |
|
< ε |
1 |
|
< ε n +1 > |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n +1 |
|
n +1 |
n +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|||||||||
n > |
1 |
−1 Nε |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
−1 − целая часть. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ε |
ε |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказано, что lim |
|
n |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{xn }. |
|||||
|
|
|
|
Пример 2. |
|
Найти |
предел |
|
|
последовательности |
|
|||||||||||||||||
|
x = 0,3; x = 0,33;...; x |
|
= 0,33...3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Решение. |
|
Положим |
|
|
x = |
. |
Решим |
неравенство |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x − |
|
|
|
< ε |
−0,33...3 = 0,00...033... <10−n < ε −n < lgε N |
ε |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [−lg ε ]. Что и требовалось доказать.
Пример 3. Найти предел последовательности |
Zn = |
in |
. |
|||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||
Решение. Предположим, что lim Zn = 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in |
|
|
|
1 |
< ε n > |
1 |
Nε |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 0 |
< ε |
|
|
= |
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
ε |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
||||||||||
Что и требовалось доказать. |
|
{xn } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если предел |
|
последовательности |
равен нулю, то она |
|||||||||||||||||||||||
называется бесконечно малой, |
то есть если |
|
|
xn − 0 |
|
= |
|
xn |
|
< ε n > Nε , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
то {xn } – бесконечно малая последовательность |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Например, Zn = |
in |
|
– бесконечно малая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
lim x |
= x |
, |
то |
|
|
α |
n |
= x − x |
|
– бесконечно |
малая |
|||||
|
n→∞ n |
0 |
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|||
последовательность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{xn } |
|
|
|
|||
|
Определение. |
Числовая |
|
последовательность |
|
называется |
|||||||||||
бесконечно |
большой, |
если |
для любого |
|
M > 0 |
существует |
такое |
||||||||||
натуральное число NM , что выполняется неравенство |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xn |
|
> M n > NM . |
|
|
= (1+ i)n2 – |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Например, |
последовательности |
|
x |
= −n, x = n, Z |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
бесконечно |
|
большие. |
Последовательность |
xn |
= 2n + (−2)n |
неограниченная, но не является бесконечно большой.
Если {xn } – последовательность действительных положительных
чисел является бесконечно большой, то в окрестности бесконечно удаленной точки (+∞) (см. §14 гл.1) находятся все члены этой
последовательности, начиная с некоторого. Поэтому пишут
lim xn = +∞ .
n→∞
Аналогично, если последовательность {xn } отрицательных чисел является бесконечно большой, пишут
lim xn = −∞ .
n→∞
Для бесконечно большой последовательности комплексных чисел пишут
lim Zn = ∞.
n→∞
Введем операции над последовательностями. Суммой двух последовательностей {αn } и {βn } назовем последовательность {γn },
общий член которой определим равенством
def
γn = αn + βn .
Аналогично определим разность, произведение и частное этих последовательностей
αn − βn , αn βn , αn , (βn ≠ 0).
βn
Теорема 1. Если последовательности комплексных чисел {αn } и
{βn } |
α |
|
|
сходятся, то и последовательности {αn + βn }, {αn βn }, |
|
n , |
|
|
|
βn |
βn ≠ 0 сходятся. При этом
50