Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

В силу монотонного возрастания функции f (x) имеем
f (x′)≤ f (x )≤ f (x′′).	(2)
0	f (x′)
Из (2) следует, что множество значений функции	f (x′)

ограничено сверху, следовательно, имеет точную верхнюю грань, то есть существует sup f = A. Аналогично из (2) следует существование

(a,x0 )

inf f

= B .

(x0 ,b)

ε > 0

По

определению

точной верхней

грани

для

любого

существует xε

(a, x0 )

такое, что

A − f (xε

)

< ε

(см. §7

гл. 1).

В силу

монотонного

возрастания функции

f (x)

неравенство (3)

будет

выполняться для любогоx′, удовлетворяющему неравенству

xε

< x′ < x0 ,

(4)

то есть

A − f (x′)< ε .

(3')

Обозначив

x0 − xε

= δε ,

неравенство

(4) можно

переписать в

следующем виде

x −δ

< x′ < x .

(4′)

Итак, для любого ε > 0 нашли δε

> 0 такое, что из (4′) следует

′

что

A есть левый предел

(3 ). По определению Коши это означает,

функции

f (x)

в точке x0 , то есть

(x)= A = sup f .

lim

x→x0 −0

(a,x0 )

Аналогично можно доказать существование правого предела функции f (x) в точке x0 . Теорема доказана. Теорема справедлива и

для монотонно убывающей функции.

§6. Сравнение функций. Асимптоты. Асимптотические ряды

Пусть α (x) и β (x) – бесконечно малые в точке x0 , а x0 – предельная точка области определения X функций α (x) и β (x). Если

существует предел lim	α (x)	≠ 0, то	α (x) и	β (x) называют
	β (x)
x→x0

121

бесконечно	малыми		одного порядка малости в точке x0 .			Пишут
α = O(β ) при x → x0 .
Если	lim	α (x)	=1,	то α (x)	и β (x) называют эквивалентными
		β (x)
	x→x0
бесконечно малыми или асимптотически равными. Пишут α (x)						β (x)
при x → x0 .		α (x)
Если	lim		= 0 ,	то α (x)	называют бесконечно малой более
		β (x)
	x→x0

высокого порядка малости по сравнению с β (x). Пишут α = o(β ) при

x → x0 .

sin x

Пример 1. lim

=1.

→ sin x

x при x → 0.

x→0

Заметим, что из упражнений §4 следует, что

tgx

arcsin x

arctgx при x → 0.

sin2 x

sin x

Пример 2. lim

= lim

sin x =1 0 = 0. sin2 x = o(x)

при x → 0.

x→0

→0

sin 2x

2x = t

sin t

Пример 3. lim

= 2lim

= 2.

x→0

t →

x→0

sin (2x)= O(x) при x → 0 или sin 2x

2x.

Аналогично сравниваются и бесконечно большие функции в точке

x0 . При этом функция f

(x) называется бесконечно большой в точке

1 , если

существует

O(x ,δ )

такая,

что x O(x ,δ )∩ E

f (x)

выполняется неравенство

> M , где M > 0 – произвольное число.

Пишут lim f (x)= ∞.

x→0

sin x

Пример 4. ϕ(x)= x ,

f (x)= x +

. Очевидно, ϕ(x) и f (x)

f (x) ϕ(x) при

бесконечно большие в точке x0 = +∞. Убедимся, что

x → +∞. Действительно,

x +sin x

lim

f (x)

= lim

sin x

=1.

ϕ(x)

x→+∞

122

Теорема.

Если

f (x)

f1 (x), g (x)

g1 (x)

при

x → x0

lim

f1 (x)

существует, то lim

f (x)

также существует, причем

(x)

g (x)

x→x0

f (x)

f1 (x)

lim

= lim

x→x0

g (x)

x→x0 g

(x)

f (x)

(x) g1 (x)

Доказательство. lim

= lim

g (x)

f (x)

(x)

g (x)

→0

= lim

f (x)

lim

f1 (x)

lim

g1 (x)

= lim

f1 (x)

x→0

f (x)x→0

(x)x

→0

g (x)

x→0

(x)

Теорема доказана.

Теорему часто используют при нахождении пределов.

Пример 5. Найти lim

ln (1+ 2

x + x2 )

x→0 arcsin (

x + 5x3 )

Решение.

Очевидно,

x + x2

x ,

x + 5x3

x ,

ln (1+ x)

x ,

arcsin x

при

x → 0

(см.

§4).

Учитывая

все это и

используя теорему, найдем

lim

(1+ 2

x + x2 )

= lim

x + x2

= lim

= 2 ,

x + 5x3 )

x→0 arcsin (

x→0

x + 5x3

→0

то есть

2arcsin (

x + 5x3 )

ln (1+ 2 x + x2 )

x при x → 0.

Если f (x)

ϕ(x) при x → x 0 , то можно записать

f (x)=ϕ(x)+ o(ϕ(x))

при x → x0 .

(1)

Равенство

(1)

называют

асимптотическим

равенством,

или


асимптотической формулой. В частности, если x0 бесконечно
удаленная точка		( x0 = ±∞), а ϕ(x)= kx + b –		линейная функция, то
функцию ϕ(x)		называют правой или левой наклонной асимптотой
графика	функции		f (x). Вводят и кривые	асимптоты,	например,
ϕ(x)=	2π xxxe−x		– асимптота гамма-функции	Ã (x) (см.	пример 7)

при x → +∞.

Перепишем (1) в виде

123

f (x) = kx + b + o(kx + b).

(1')

Найдем коэффициент k и свободный член асимптоты b .

′

Из (1 ) получим

f (x)

= k +

o(kx +b)

. k

= lim

f (x)

(2)

1,2

x→±∞

′

Из той же формулы (1 ) найдем, что

b1,2

= lim

( f (x)− k1,2 x).

(3)

x→±∞

Итак, если пределы (2) и (3) существуют, то график функции f (x) имеет наклонные асимптоты. Из (1′) получим, что

lim ( f (x)− kx −b)= 0 .

x→±∞

Это означает, что разность между ординатой графика функции f (x) и ординатой наклонной асимптоты стремится к нулю при x → ±∞.

Пример 6. Найти асимптоты графика функции y = 2x + arcctgx . Решение. Поскольку 0 < arcctgx < π , то по формуле (2) имеем

k1,2	= lim	f (x)	=		arcctgx
				lim 2 +			= 2.
		x			x
	x→±∞			x→±∞
Согласно формуле (3), найдем					0,	x → +∞,
								.
b1,2 = lim (2x + arcctgx −2x )=
	x→±∞				π, x → −∞
Итак, y = 2x – правая наклонная асимптота, y = 2x +π – левая
(см. рис.).					{ϕk (x)}
Функциональная	последовательность							называется

асимптотической в точке x0 , если

124

ϕk +1 (x)= o(ϕk (x)) при x → x0 .

(4)

∞

Формальный ряд

∑ ckϕk (x) называют асимптотическим рядом,

k =0

{ϕk (x)} его

если последовательность

членов

асимптотическая.

∞

(−1)k k!

x → ∞.

Например, ряд

∑

асимптотический

при

Действительно,

k =0

(x)

(−1)k +1 k! (k +1)xk +1

ϕk +1

= lim

k +1

lim

= −lim

= 0 .

ϕk (x)

xk +2 (−1)k

x→∞

Что и требовалось доказать.

Заметим, что этот ряд всюду расходится. Однако, асимптотические ряды могут быть и сходящимися.

Асимптотический ряд

разложением функции f (x) эквивалентны функции f (x)

∞

∑ ckϕk (x) называется асимптотическим

k =0

при x → x0 , если его частичные суммы в точке x0 , то есть если

	f (x)	n
	f (x)	∑ ckϕk (x) при x → x0	,
		k =0
	n			→ x0 .
или	f (x)= ∑ ckϕk (x)+ o(ϕn (x)) при x			→ x0 .
	k =0

Хотя асимптотические ряды чаще всего расходящиеся, тем не менее, их часто используют для приближенного вычисления функции f (x) в окрестности точки x0 .

Пример 7. Одной из самых распространенных асимптотических формул является формула Стирлинга

n! = 2πnnne−n + r (n),

где r (n)= o(n!).

Доказано, что r (n) ≤ e12n −1, поэтому приближенная формула

n! ≈ 2πnnne−n довольно точная при больших n . Например, 10!=3628800, приближенная формула дает значение 3598696. Относительная погрешность не превышает 1%.

125

§ 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Определение 1. Пусть X , Y – метрические пространства,	E X
и f : E →Y . Функция f (x) называется непрерывной в точке	x0 E ,

если для любого ε > 0 существует δε > 0 такое, что ρy ( f (x), f (x0 )) < ε для всех точек x E , для которых ρх(x, x0 ) < δε .

Если функция непрерывна в каждой точке множества E , то она называется непрерывной на множестве E .

Как и определение предела функции, определение непрерывности справедливо для функции общего вида, то есть отображения одного метрического пространства в другое. Однако далее мы будем рассматривать преимущественно частный случай, то есть действительную функцию действительного аргумента.

Сравнивая определение 1 с определением 2 §2, видим, что они очень похожи. Однако имеются и существенные отличия.

1) В определении 1 точка x0 может быть непредельной в отличие

от определения 2 §2;

2) в определении 1 f (x0 ) всегда определено, так как x0 E – область определения функции;

3)в определении 1 снимается требование ρx (x, x0 ) > 0, то есть, если некоторая последовательность хn сходится к x0 , то она может быть

истационарной (см. определение предела по Гейне в §2);

4)в определении 1 вводится дополнительное требование, чтобы

точка y0 У совпадала со значением функции в точке x0 , то	есть
y0 = f (x0 ) .
Следствие 1. Если функция f (x) имеет предел в точке	x0 и
lim f (x) = f (x0 ) , то функция f (x) непрерывна в точке x0 .
x→x0

Действительно, в этом случае все требования определения предела

по Коши удовлетворяют требованиям определения 1.
Следствие 2. Если функция f (x) непрерывна в точке		x0	и x0
является предельной точкой множества	E , то предел функции		f (x)
существует, причем lim f (x) = f (x0 ) .	Действительно,	сравнивая
x→x0

определение 1 и определение 2 §2, видим, что все требования определения 2 §2 выполняются.

126

Таким образом, если x0 – предельная точка области определения E , то определение 1 непрерывности эквивалентно условию

lim f (x) = f (x0 ) . (1)

x→x0 x E

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию y = xn ,

E = RI , n N .

Решение. В данном случае любая точка x0 R1 – предельная. Так как предел произведения равен произведению пределов, то имеем

		lim xn = ( lim x)n = xn .
		x→x0	x→x0		0
		x→x0	x→x0
Поскольку	f (x ) = xn , то		lim xn = xn .		Согласно следствию 1,
	0	0	x→x0	0
			x→x0
функция xn непрерывна всюду на числовой прямой.
Пример 2.	y = xn ,	E = Q R1. И		в	этом случае все точки
являются предельными и		lim xn = xn = f (x ). Следовательно, и в этом
		x→x0	0	0
		x→x0

случае функция непрерывна в каждой рациональной точке множества

Определение 2. Если x0 – предельная точка и						lim	f (x) = f (x0 ) ,
то функция f (x)						x→x0 +0	x0 справа.
то функция f (x)	называется непрерывной в					точке	x0 справа.
Аналогично, если	lim f (x) = f (x0 ) – функция непрерывна слева.
x→x0 −0
		2	,	x	≤1,
		2
	x
Пример 3. f (x) =
Пример 3. f (x) =
	1, x = ±2.

		y
		1
-2	-1	1	2	x

В данном случае область определения

E ={x R : x ≤1}U{−2}U{2}.

127

Очевидно, функция непрерывна в каждой точке x0 (−1,1). В точке x = −1 функция непрерывна справа, в точке x =1 – слева. Таким

образом, функция непрерывна на отрезке x

[

]

Точки

x = ±2 –

−1,1 .

изолированные точки множества Е.

Пусть δε =

. Тогда

x О 2,

, x Е,

f (x) = f (2) =1,

ε > 0 − любое.

ρ( f (x), f (2)) =

f (x) − f (2)

= 0 < ε,

Таким образом, для любого ε > 0

нашли δε =

такое,

что все

требования определения 1 выполняются. Следовательно, данная

функция непрерывна в точке x = 2 . Аналогично	доказывается
непрерывность в точке x = −2. Следовательно, функция	непрерывна на

множестве E .

Замечание. Если условия определения 1 нарушаются в некоторой точке, то эту точку называют точкой разрыва функции.

Например, точка x0 – предельная, а предел lim f (x) не

x→x0

существует, или существует, но не равен значению функции f (x0 ).

1 , х ≠ 0,

Пример 4. f (x) = х

0, х = 0.

Очевидно,

lim			1	= −∞,	lim	1	= +∞,
lim				= −∞,	lim		= +∞,
x→0− x					x→0+ x
следовательно, функция в точке x0 = 0 терпит разрыв.
	1
sin		, x ≠ 0,
sin	x	, x ≠ 0,
Пример 5. f (x) =	x

0, x = 0.								1
Точка x = 0 – предельная, но					lim sin			1	не существует (см.
Точка x = 0 – предельная, но					lim sin				не существует (см.
0					x→x0			x
					x→x0			x

пример 3 в §2). Следовательно, x0 = 0 – точка разрыва функции.

128

sinx , x ≠ 0,

Пример 6. x

0, x = 0.

Точка x0	= 0	– предельная,	sinx
		lim		=1 ≠ f (0).
			x
Точка x0	= 0	x→0
		– точка разрыва.

1, х− рациональное, Пример 7. f (x) = D(x) = 0, х−иррациональное.

D(x) – функция Дирихле.

Здесь E = R1 , все точки предельные, однако ни в одной точке функция Дирихле предела не имеет, следовательно, разрывная в каждой точке.

Пример 8. f (x) = E(x) = [x] – целая часть x . Очевидно,

lim E(x) = E(n −0) = n −1, n = 0, ±1, ± 2,K

x→n−0

lim E(x) = E(n + 0) = n, n = 0, ±1, ± 2,K

x→n+0

2
1
1	2

Функция E(x) терпит разрывы в точках n = 0, ±1, ± 2... Но в этих точках она непрерывна справа, так как

lim E(x) = E(n + 0) = n.
x→n+0	f (x) определена на
Определение 3. Пусть функция	f (x) определена на	интервале
(a,b). Если функция разрывная	в точке x0 (a,b)	и если
129

односторонние пределы существуют, но f (x0 − 0) ≠ f (x0 + 0), то точку разрыва x0 называют точкой разрыва первого рода.

Разность f (x0 + 0) − f (x0 − 0) = h называют скачком.

Если f (x0 −0) = f (x0 + 0) ≠ f (x0 ), то точку x0 называют точкой устранимого разрыва. Все остальные точки разрыва называются

точками разрыва второго рода.
Например, разрывы функции	примера 8 первого рода, скачок
h =1.	устранимый. Полагая f (0) =1,
Разрыв функции примера 6	устранимый. Полагая f (0) =1,

получим непрерывную функцию. Разрывы функций примеров 4, 5, 7 второго рода.

Следствие 3. Так как x0	= lim x, то условие непрерывности (1)
можно переписать так:	x→x0
		(1 )
lim f (x) = f ( lim x) ,
x→x0	x→x0	′

то есть, если f непрерывна в предельной точке x0 , то символы lim и f можно поменять местами.

Следствие 4. Пусть функция f (x) определена на интервале (a,b)

и пусть точки x0 , x = x0 + ∆x (a,b). Если ∆x – приращение аргумента,
а ∆y = f (x0 + ∆x)− f (x0 ) – приращение функции в точке		x0 , то
условие непрерывности (1) можно переписать так:
lim ( f (x) − f (x0 )) = 0 или	lim ∆y = 0 .	(1")
x→x0	∆x→0

То есть, если в предельной точке бесконечно малому приращению аргумента ∆x соответствует бесконечно малое приращение, то функция непрерывна в этой точке. Наоборот, если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример 9. Убедиться, что функция y = sinx, E = R1 непрерывна

на всей числовой оси.	∆x		∆x
Решение. ∆y = sin(x + ∆x) − sinx = 2sin
	2	cos x +	.
			2

Поскольку sinx ≤ x − (см. пример 6 §2), то

∆y = 2 sin ∆2x cos x + ∆2x ≤ 2 ∆2x 1 = ∆x ,

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 5013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб17Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб13Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб14UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб21UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб7UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб9UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб7UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб69UML_4797.pdf