|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Например, в |
определителе |
|
|
−3 |
1 |
|
|
5 |
|
минором и алгебраическим дополнением для |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2 |
4 |
|
|
||||
элемента a |
21 |
будут числа: |
21 |
= |
|
|
−1 |
−1 |
|
|
= −4 − 2 = −6 и A = (−1)2+1(− 6)= 6 . |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
4 |
|
|
21 |
||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выборе |
знака перед минором в |
алгебраическом дополнении следует руководствоваться |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
− |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
следующим правилом: |
|
− |
+ |
|
|
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
+ |
− |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема разложения
Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Теорема разложения позволяет вычислять определитель любого порядка. Особенно удобно пользоваться ею, если предварительно преобразовать определитель так, чтобы в какой-то строке или столбце все элементы кроме одного равнялись нулю. Такой определитель будет равен ненулевому элементу этой строки или столбца, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Задача 1.1.3
|
1 |
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
Вычислите определитель |
2 |
−1 |
1 |
3 |
|
. |
−1 |
−3 |
− 2 |
4 |
|
||
|
3 |
− 4 |
−3 |
6 |
|
|
Решение
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (–2), к третьей - первую, к четвертой – первую, умноженную на (–3). После этого все элементы первого столбца, кроме первого элемента, равны нулю. Применяя теорему разложения к этому столбцу, понизим порядок определителя.
|
1 |
2 −1 |
2 |
|
(− 2)(−3) |
|
1 |
2 |
−1 |
2 |
|
|
−5 |
3 |
−1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
−1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
−5 |
3 |
−1 |
= |
|||||
|
|
|
= |
−1 |
−3 |
6 |
|
||||||||||||
|
1 |
−3 |
− 2 |
4 |
|
|
|
0 |
−1 |
−3 |
6 |
|
|
||||||
|
3 |
− 4 |
−3 |
6 |
|
|
|
|
|
0 |
−10 0 |
0 |
|
|
−10 0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Применяя теорему разложения к последней строке полученного определителя третьего порядка, получим:
|
−5 |
3 |
−1 |
|
|
|
3 |
−1 |
|
= −10 (18 −3)= −150 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
−1 |
−3 |
6 |
|
|
= −10 |
|
|||
|
−10 |
0 |
0 |
|
|
|
−3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.3. Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Пусть A - квадратная невырожденная матрица n – ого порядка. Обратной матрицей A−1
для нее называется матрица, для которой справедливо: A A−1 = A−1 A = E , где E - единичная матрица.
6