Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel_1_konspekta_lektsy.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

993.48 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4418 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

3.тройка векторов ar, b, cr является правой (в предположении, что ориентация пространства

правая, т.е. правой является тройка векторов, направленных вдоль координатных осей) (рис. 1.4.5).

Рис. 1.4.5.

Свойства векторного произведения:

1.[a, b]= −[b, a].

2.[a + b, c]= [a , c]+ [b, c].

3.[α a , b]= [a ,αb]=α [a , b].

4.[a, b]= 0 ab .

Задача 1.4.6

[c1,c2 ]

a b = 30o .

Найдите

, если c1 = 4 a − 2 b , c2 = −a + 3b ,

= 2 ,

Решение

По свойствам векторного произведения

[c1, c2 ]= [4a −b, −a +3b]= −4[a, a]+ 2[b,a ]+12[a,b]−6[b,b].

Так как [a,a]= 0 ,

[b, b]= 0

и [b,a]= −[a,b], получим:

[c1,c2 ]

−2[a,b]+12[a,b]

=10

[a,b]

=10

2 2 sin 30o

= 20 .

sin a

Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе

Если a = y1

и b = y2

, то

координаты векторного

произведения

можно

найти по

формуле:

[ar, br]= (y z

)i − (x z

)j + (x y

)kr

− y

− z

− x

которую можно записать в более удобном виде

[ar, br]=

и в которой предполагается вычисление определителя разложением по первой строке.

Задачи, использующие векторное произведение.

1. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна:

Sпар = ar b sinα = [ar, b].

Площадь треугольника, построенного на векторах a и b , равна: Sтр = 12 [ar, br].

Задача 1.4.7

Вычислить площадь треугольника ABC , если A(2;−2; 3), B(−3;−6; 0 ), C(4;−3;−1).

Решение

−5

Треугольник ABC

−4

−1

образован

векторами

AB =

AC =

. Находим

−3

− 4

− 26

[AB, AC ]=13i − 26 j +13k =

SABC = 1

[AB, AC]

132

+262 +132

6 .

2. Вычисление момента силы

Если вектор силы f

приложен к точке A и требуется найти момент этой силы относительно

точки O , то момент силы M равен (рис. 1.4.6):

M = [OA, f ].

		O		f
				A
				Рис. 1.4.6.
Задача 1.4.8
			−1
Вычислите момент силы			2		A(3; 2; 7) относительно точки
Вычислите момент силы		f =	2	, приложенной к точке	A(3; 2; 7) относительно точки
			1,5
O(−1; 2;1).			1,5
O(−1; 2;1).
Решение
	4
	−4
Вычислив вектор OA =	−4	, а также момент силы M = [OA, f ]= −18i −12 j +4k , получим
	6
	6