Смешанное произведение векторов a , b |
и c представляет собой скалярное произведение |
|||||
векторов a |
и |
|
|
или скалярное |
r |
c , то есть |
b , c |
произведение векторов [a, b] и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
abc = (a,[b,c ])= ([a,b],c).
[ar,br]
r |
c |
|
H
v a 
bv
r |
H |
c |
|
|
v |
|
b |
|
a |
[ar,b]
Рис. 1.4.8.
x |
|
x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
Если заданы координаты векторов в ортонормированном базисе a = y1 |
, |
b = y2 |
, |
|
z |
|
z |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
x3
c= y3 , то смешанное произведение вычисляется по формуле
z3
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
abc = |
x2 |
y2 |
z2 |
. |
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение меняет знак, когда меняются местами любые два вектора: abc = −a cb = −b a c = −cb a .
2. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов: abc = c ab = bc a .
3. a b c = 0 тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы (компланарны).
Задачи, использующие смешанное произведение
Задача 1.4.10 |
|
|
|
|
Лежат ли |
точки |
A( 2, −1,−3) , B ( − 4,1,−2) , C ( 0, −6 ,3) и |
D ( −12, − 2 ,5) |
в одной |
плоскости? |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
Точки A , |
B , C и D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы |
AB , AC , |
||
AD компланарны |
(рис. 14.9). Поэтому необходимо проверить, |
равно ли нулю смешанное |
||
произведение AB AC AD . |
|
|
||
|
|
31 |
|
|
B
C
A
D
Рис. 14.10.
|
− 6 |
|
− 2 |
|
−14 |
|||
|
2 |
|
|
−5 |
|
|
−1 |
|
AB = |
, |
AC = |
|
, AD = |
. |
|||
|
1 |
|
|
6 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
AB AC AD = |
|
−6 2 1 |
|
(−6)(−8) |
|
−6 |
2 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
− 2 −5 6 |
|
|
|
|
= |
|
34 −17 0 |
|
= 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
−14 −1 8 |
|
|
|
|
|
|
34 |
−17 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точки лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.4.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Какую тройку образуют векторы 2i , j, k ? векторы |
j, i , k ? |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение |
2i j k = 2(i |
j k )= 2 > 0 и тройка векторов |
|
|
|
|||||||||||||
Смешанное произведение |
2i , j, k |
имеет ту же |
||||||||||||||||
ориентацию, что и тройка векторов i , j, k |
. Если тройка векторов |
i , j, k |
– правая, |
то тройка |
||||||||||||||
векторов 2i , j, k тоже правая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тройка векторов j, i , k |
отличается |
от тройки |
|
i , j, k |
только |
порядком двух |
векторов. |
|||||||||||
Следовательно, она имеет противоположную ориентацию. Если тройка векторов i , |
j, k |
– правая, |
||||||||||||||||
то тройка векторов j, i , k – левая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.4.12
Найти объем тетраэдра ABCD , если A(1,−3,−5 ), B(−1, 2,−4 ), C(0,0,−2 ), D(− 6,−1,−2 ).
Решение
|
|
|
|
|
|
− 2 |
−1 |
− 7 |
|
Тетраэдр ABCD |
построен на векторах AB = 5 , |
AC = 3 , |
AD = |
2 , (рис. 1.4.11). |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
3 |
Учитывая, что V |
|
= 1 |
|
AB AC AD |
|
. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тетраэдра |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
5 −12 |
|
= −65 −12 = −77 . V |
= 1 |
|
−77 |
|
= 77 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
−1 −13 |
|
тетраэдра |
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
32